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matrice et binôme de newton

Posté par
natsume 31-01-16 à 15:33

Bonjour,
j'essaye de résoudre un exercice mais je rencontre quelques problèmes.
Voici l'énoncé:
Soit  la matrice A=(5   -2  -3)
                                           (1   2   -3 )  
                                             (1   -2  1 )
1. Vérifier que A2 = 4A. En déduire que A n'est pas inversible.
J'y suis parvenu.
2. Calculer An pour n*
Je procède par récurrence, et je trouve An = 4n-1A, pour tout n naturel non nul.
3. On pose B = I + A.
En utilisant le binome de Newton, montrer que :
Bn = I + [(5n -1)/4]A pour tout n*
Pour cela j'écris: puisqu'on a B = I+A, alors Bn= (I + A)n
On a également, I et A qui commutent donc on peut appliquer la formule du binôme de Newton:
c'est ce que je fais mais au final je ne vais pas plus loin que :
Bn = nIn-1A + [(n(n-1)In-2)/2]A2+...+ 1*I0An
                                 = nIA + [(n(n-1)In-2)/2]4A+...+ I4n-1A

Pourriez vous m'expliquer comment bien appliquer la formule du binôme au cas de l'exercice s'il-vous-plait ? parce qu'il me semble que c'est cela qui me bloque.
Merci d'avance,
Natsume

Posté par
lakere : matrice et binôme de newton 31-01-16 à 16:01

Bonjour,

B^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\,A^k=I+\dfrac{1}{4}\,A\sum_{k=1}^n\binom{n}{k}\,4^k

B^n=I+\dfrac{1}{4}\,A\,\left(\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\,4^k-1\right)

Posté par
Cherchellre : matrice et binôme de newton 31-01-16 à 16:01

Sans utiliser la formule du binôme de Newton, tu peux démontrer ta propriété par récurrence.
Avec la formule :
B^n=I+\sum_{i=1}^n {n\choose k}A^k}= I+\sum_{i=1}^n {n\choose k}4^{k-1}A}

En développant avec la formule du binôme (1 + 4) n tu trouves que :

(1+4)^n=1+\sum_{i=1}^n {n\choose k}4^k}

donc

5^n=1+4\sum_{i=1}^n {n\choose k}4^{k-1}}

donc \frac{5^n-1}{4}=\sum_{i=1}^n {n\choose k}4^{k-1}}

donc

B^n=I+\frac{5^n-1}{4}A

Posté par
natsumere : matrice et binôme de newton 31-01-16 à 16:31

Merci pour vos réponses!
1°) Lake, je n'ai pas très bien compris la deuxième partie de l'équation. Comment trouve-on le 1/4. De plus, est-ce que l'on peut partir de k=0 dans la somme alors qu'il faut trouver Bn pour tout n* ?

2°) Cherchell, j'ai compris le cheminement qui vient après, mais ce qui m'intrigue est pourquoi décidez-vous de calculer (1+4)n? Choisissez-vous (1+4)n dans le but de le transformer pour obtenir Bn

Posté par
natsumere : matrice et binôme de newton 31-01-16 à 16:32

?

Posté par
lakere : matrice et binôme de newton 31-01-16 à 16:53

- La somme de la formule du binôme commence à k=0; cela n' a rien à voir avec la valeur de n. Remarque que j' ai sorti la valeur correspondante (c' est à dire I) de la somme ensuite.

-Dans la somme, il y a des 4^{k-1}=\dfrac{1}{4}\,4^k et on sort le \dfrac{1}{4} de la somme

Posté par
natsumere : matrice et binôme de newton 31-01-16 à 17:48

D'accord pour le 1/4 et k = 0
Par contre, je ne comprends pas exactement comment vous obtenez la dernière ligne de votre calcul et en quoi c'est égal au résultat demandé dans la question ..

Posté par
lakere : matrice et binôme de newton 31-01-16 à 17:55

\sum_{k=1}^n\binom{n}{k}\,4^k=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\,4^k-1 car  \binom{n}{0}\,4^0=1

et \sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\,4^k=(4+1)^n=5^n avec la formule du binôme.

Posté par
natsumere : matrice et binôme de newton 31-01-16 à 18:10

Oh d'accord! Merci beaucoup
Du coup, à partir de là, je peux enchainer avec la partie correspondante du raisonnement de Cherchell ou je peux aller plus vite?

Posté par
natsumere : matrice et binôme de newton 31-01-16 à 18:11

Ah autant pour moi! En fait, j'ai déjà le résultat avec votre équation !

Posté par
lakere : matrice et binôme de newton 31-01-16 à 18:28


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