Bonsoir,
j'ai quelques soucis sur un exercice en maths expertes .
J'ai presque tout fait mais il me manque une question et j'ai un doute sur une autre question voici l'énoncé :
Soit p un entier naturel non nul. On note 0 p la matrice nulle et Ip la matrice identité. On dit qu'une matrice A de taille p xp est nilpotente d'indice 3 si: A² ≠ 0p et A³=0p.
On considère une telle matrice A et pour tout réel x, on pose: Ea(x) = lp+ xA + (x²/2)A²

Voici les questions qui me posent problème :
3) Démontrer que pour tout réel x , Ea(x) est inversible et que (Ea(x)) ^( - 1) = Ea(- x)
J'ai réussi la deuxième partie mais je ne sais pas comment montrer que EA(x) est inversible
J'ai essayé de montrer que la matrice A l'est mais je ne pense pas que c'est pareil, je ne sais pas
4)b) Déterminer alors Ea(x) pour tout réel x. J'ai remplacé le A et A² par leur matrice respective (sous forme de matrice) mais pas sûre que ce soit ce qu'il faut faire
Pour info:
1) j'ai montré que Ea(x+y)=EA(x)×EA(y)
2) j'ai montré que EA(nx)=Ea(x)^n
4) la matrice a m'est donné, a) j'ai montré qu'elle est nilpotente d'indice 3

Merci