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matrice et polynome
Bonjour à tous, je me permets de vous solliciter car j'ai un problème auxquel je ne trouve aucune reponse.... Et je ne sais même pas si il est au programme de sup.
Soit n un entier de 
*, K un corps et P un polynome non constant de K[x]
On veut etudier l'ensemble Sp des solutions de l'equation P(M)=0 où l'inconnue M appartient à l'algèbre de smatrices carrées Mn(K)
on suppose ici que K=
1) Montrez que Sp est non vide.
Mon problème dans cet exercice est que je n'arrive pas à m'immaginer ce que peut être P(M) je n'ai encore jamais rencontré de matrices associées à une fonction polynomiale...
2) resoudre dans l'equation z5-z4+z3-z2+z-1=0.
cette question ne pose aucun problème (heureusement si non je serais vraiment mal barré...)
3) décrire l'ensemble des solutions dans Mn() de l'equation M5-M4+M3-M2+M-I=0
Là je vois qu'il faut utiliser la question precedente mais je vois pas du tout comment, le décrire me gêne...
J'aurais donc voulu savoir si c'était bien du niveau de sup car ça me semble bizarre mais bon si cela ne l'était pas si on pouvait me donner quelques pistes... Si il faut des connaissances que je n'ai pas je laisserai tomber.
Merci d'avance pour votre aide
Bonsoir 
Ce n'est pas bien méchant.
P(M) c'est quoi? Tu prends un polynôme par exemple
Alors :
Bon maintenant on va dans le cas général :
On prend n'importe quel polynôme
On demande de montrer que l'équation P(M)=0 a toujours une solution
c'est à dire qu'il existe toujours une matrice M telle que
Tu n'as pas une idée?
Un exemple:
Si on prend pour P le polynôme utilisé dans la question 2) et pour M une matrice quelconque, alors P(M) est l'expression qui apparaît dans la question 3)
Merci pour vos reponses rapides
Vu comme cela s'éclaire , c'est toujours comme cela après une petite aide.
Je dirais que la matrice nulle est solution de Sp.
J'ai un peu de mal à me representer la matrice, de combien de colonnes est elle constituée?
Dans l'exemple fourni par Nightmare, prends pour M la matrice nulle. A-t-on P(M)=0?
Il faut donc trouver autre chose que la matrice nulle, et ce n'est pas complètement évident.
J'avais pas vu que pour le dernier terme c'était la matrice identité qui multipliait a0 et non une matrice quelconque...
M est une matrice carrée quelconque de taille n. Que vaut P(M) si M est de la forme rI (r un complexe quelconque et I la matrice identité?
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