Bonjour si tu notes N=(aij)1<=i<=3,1<=j<=3 alors si on note les coeffs bij de  2I+N on a bij=aij si i different de j et bii=2+aii. Si l'on veut que 2I+N=A il faut donc que a11+2=2 etc...

désolée mais je n'ai pas compris où ce calcul allait nous mener...à quoi sert de calculer N^2 et N^3 pour trouver le polynome minimal ? Quel est le lien ?

Je t'ai juste montrer comment trouver N pour que A=2I+N j'ai pas parle de N^2 et N^3. Tu dois trouver N=(0 4 0;0 0 3;0 0 0) puis en calculant N^2 et N^3 tu dois trouver que N^3=0. Donc N^3=(A-2Id)^3=0 d'ou (X-2)^3 est un polynome annulateur de A a toi de verifier que c'est bien le polynome minimal.

Merci beaucoup pour ton aide Cauchy !

De rien

As tu reussi a finir l'exercice?

pour cette question c'est bon mais justement je reviens parce que je rencontre un nouveau problème...il me demande de déterminer A^k pour tout k appartenant à N* et je ne sais pas vraiment comment m'y prendre...
J'ai essayé de faire la suite:
si P est un élément de R[x] alors il faut démontrer que
P(A)=(P(2) 4P'(2) 6P''(2)  )
     ( 0     P(2)    3P'(2) )
     ( 0      0        P(2) ) et comme c'est pour tout polynome...enfin de l'aide ne sera pas de trop ! merci d'avance pour votre aide..  

Pour calculer A^k il te faut utiliser que A=2Id+N et que Id et N commutent tu peux donc appliquer la formule du binome de Newton . Je te laisse continuer..

Merci je n'y avais pas pensé...et pour la question avec les polynomes de R[x] après, il faut chercher quelque chose de simple ou si c'est assez compliqué?Parce que les matrices sont assez nouvelles pour moi et je ne sais pas comment m'y prendre et je n'ai pas vraiment de méthode ni de réflexes...

Bonjour

tu as du voir dans le calcul de A^k qu'il ne restait que 3 termes et tu as une expression explicite de A^k(pourrais tu me dire ce que tu as trouve pour verifier).

Pour verifier la formule que l'on te demande de demontrer il te suffit de la verifier pour les monomes X^k car par linearite tu l'auras pour tout polynome .

Donc grace a l'expression que tu as obtenu de A^k tu devrais pouvoir verifier que cela correspond bien a ce que l'on te demande de prouver.

Pour A^k je l'avais laissé sous la forme de Newton,
A^k=
   k
((p parmis k)(2I₃)^(k-p)*N^p
  p=0
avec k 2  
parce que quand k=3 ou supérieur on aurait N^p=0..
Est ce suffisant ou s'il fallait l'écrire sous une autre forme..?  

Developpes ta somme il ne reste comme tu le dis que 3 termes ecrit les tu auras directement tous les coefficients de A^k.

Mais après j'avais essayé de faire la suite en écrivant P(x)=a+bX+cX^2 puis en dérivant une puis deux fois..
j'écris de même P(A)=aId+bA+cA^2 et en prenant à chaque fois le terme correspondant je retrouvait bien le résultat trouvé..mais je me demande si ce que j'ai fait est bien juste parce que je ne me sert pas de A^k car je calcul à la main A^2..

Pour la somme je ne comprends pas ..parce que si je développe je l'aurais toujours en fonction de k ?

Non je ne parlais pas du polynome encore juste de A^k ecris concretement les 3 termes du developpement et regroupe la matrice .

Donc on obtiendrait la somme de 3 termes en remplaçant p par 0 puis par 1 puis par 2 ..je ne me lance pas dans l'écriture des 3 termes sur l'ordinateur parce que je ne suis pas très rapide mais j'ai compris..merci

on aurait 2I3^k+(1 parmik)*(2I3)^k-1*N+(2parmik)(2I3)^(k-2)*N^2 c'est cela ? en fait je me suis apercu que ce n'était pas si long que ça..

Oui tu obtiens normalement 2^kId+k2^(k-1)N+k(k-1)/2*2^(k-2)*N² ce qui te donne pour A^k:

(2^k,4*k*2^k-1,6*k*(k-1)*2^(k-2);0 2^k 3*k*2^(k-1);0 0 2^k) je pense qu'avec ca tu peux t'en sortir.

merci beaucoup Cauchy !
J'aurais encore une question:une fois que l'on a
P(A)=
(P(2)  4P'(2)  6P''(2) )
( 0      P(2)   3P'(2) )
( 0       0      P(2)  )
Comment peut on trouver directement le polynome minimal parce que normalement il faudrait faire le déterminant..mais ça ne donne rien.. mais là je ne sais pas si grace à la matrice il nous apparait directment..ou si des calcul sont necessaire pour le retrouver...enfin ce problème me posent problèmes..  

Le polynome minimal de A?

oui le polynome minimal de A que l'on avait trouvé avant..on doit le retrouvé grace à à P(A)..

Ok je vois donc P(A)=0 implique P(2)=0 4P'(2)=0 etc.. si tu ecris ton polynome sous ces contraintes tu dois pouvoir le retrouver ca va te donner un systeme d'equations.

Merci ! J'arrive au résultat en résolvant le système dons je pense que c'est bon..merci encore Cauchy !Burk.

De rien