Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Matrice et "suites"
Bonsoir,
J'ai un petit problème avec un exercice qui est sur les matrices mais ce n'est pas ce qui me pose problème. Je m'explique: j'ai la matrice A pour laquelle j'ai calculer A2 et montré que A2-3A+2I=0, elle est inversible et j'ai calculé son inverse mais le soucis c'est la suite qui est selon moi sans rapport avec les questions précédentes:
On pose A0=I
Quelque soit n
An+1=AnxA
et Bn=An+A-2I
Montrer successivement que pour tout entier naturel n on a:
1) An+2-2An+1=An+1-2An
2)An+2=2An+1+A-2I
3)Bn+2=2Bn+1
Donc pour le 1) je montre que
An+2=AnxAxA et 2An+1=2AnxA
Donc An+2-2An+1=A(An+1-2An)
Ce qui n'est pas le bon résultat.
J'ai essayé de plusieurs façons mais je retombe toujours sur ce résultat et pour la suite c'est pareil j'ai toujours un A en trop mais A n'est pas A0 ce qui m'arrangerait bien.
Pourriez_vous me dire où est mon erreur que je me corrige et puisse faire la suite s'il vous plaît?
Bosnoir,
je ne vois pas d'erreur. Par contre en factorisant par et en utilisant le fait que
, on obtient la première égalité.
Bonsoir,
Pour 1) En factorisant par A^n, tu retrouves A^2-3A+2I qui vaut zéro. Ainsi, tu démontres 1).
Pour 2) Utilise la récurrence de 1).
Pour 3) Construis Bn+2 et Bn+1 à partir de 2).
bonsoir,
c'est donxc vrai pour n=0
tu supposes que c'est vrai au rang n et tu montres que c'est vrai au rang n+1
Ok merci, effectivement cela fonctionne j'avais factorisé par An mais je ne pensais pas utiliser l'égalité précédente. Bonne soirée à vous deux!
Je t'en prie. Niveau rédaction, je te recommande plutôt de partir de l'égalité sur A^2 que tu multiplieras par A^n pour arriver au résultat 1).
Bonne soirée.
Bonjour!
Je tourne en rond! J'ai bien suivi vos conseils pour le 1) pas de problème, pour le 2) c'est là que je tourne en rond, je précise que le 3) est fait.
J'ai essayé en reprenant An+2-2An+1=An+1-2An et en passant 2An+1 de l'autre côté mais je trouve 2An+1+An(A-2I)=An+2 et ce tout le temps! j'ai essayé en faisant un raisonnement par récurrence à partir du 1) mais je n'arrive à rien, je ne sais pas quoi faire...
J'aimerais aussi votre avis sur la question suivante: calculer, pour tout entier naturel n, Bn en fonction de B0 et n, en déduire An en fonction de A et n.
J'ai dit que Bn était une suite géométrique de raison 2 et de premier terme B0, d'où
Bn=2nB0.
Vu qu'ils disent calculer faut-il préciser ce que vaut la somme de tous les termes?
Par contre pour A je n'ai pas encore trouvé, je suis dessus.
Merci.
Bonjour,
Pour 1) et 3), tu as du remarqué que tu avais une suite géométrique dont tu peux donner des expressions explicites. Pour faire 2), il suffit d'utiliser l'expression explicite (comme en première).
Désolée, je ne vois pas.
L'expression explicite c'est Bn=B02n?
Je comprends que An est une suite mais je n'arrive pas à la mettre sous la forme qu'il faut pour avoir une suite géométrique.
Tu as A^(n+2)-2A^(n+1) = A^(n+1)-2A^(n). Tu as une suite géoémtrique qui dit que A^(n+1)-2A^(n) = A-2A^(0) = A-2I
Donc A^(n+2) = 2A^(n+1) + A - 2I.
Tu as : Bn = 2^n*B0 = 2^n*(A-I)
Tu remplaces dans la définition : A^n = Bn-A+2I = (2^n-1)*A + (2^n+1)I
Ok donc si j'ai bien compris (ça me fait un rappel sur les suites c'est pas mal):
Vu que A^n est une suite on peut prendre n'importe quelle valeur pour n parce que j'étais partie en faisant
A^(n+1)-2A^n=A^n-2A(n-1) c'est pour ça que je ne trouvais pas!
Merci, je vais m'arrêter un peu parce que c'est mon dernier jour de vacances et à part faire des math et de la physique je n'ai pas fais grand chose!
A bientôt!
Annuler
connectez vous
algèbre en post-bac