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Matrice, évolution d'une population
Bonjour, il y a un résultat que je n'arrive pas à saisir...
Voici l'énoncé:
On s'intéresse dans cet exemple à l'évolution de la structure génétique d'une population d'une espèce autogame diploïde.
Les individus de cette espèce pratiquent l'autofécondation, il va en résulter une évolution remarquable de la structure génétique de la population. Nous considérerons un gène bi-allélique : Aa.
Les individus homozygote ont des descendants homozygotes de la même catégorie.
Les individus hétérozygotes ont des descendants :
- AA avec la probabilité 1/4 ;
- Aa avec la probabilité 1/2 ;
- Aa avec la probabilité 1/4.
On appelle Pk, Qk,rk les fréquences d'individus AA, Aa, aa à la kième génération :
Ici, on m'introduit 2 matrices, Rk(Pk Qk rk)
(1 0 0
et M= 1/4 1/2 1/4
0 0 1)
Il faut montrer que Rk+1=RkM
et je trouve RkM=(Pk+(1/4)Qk (1/2)Qk (1/4)Qk+rk)
Mais je n'arrive pas à démontrer pourquoi...
Merci
Vincent
Je ne comprend pas très bien. tu as fait ton calcul matriciel et tu cherches a montrer qu'il est égal à RkM+1?
quelle que soit la valeur de Qk, l'égalité n'est pas vérifiée...
Il faut simplement démontrer que R(k+1)=Rk*M et on me donne la matrice M c'est l'égalité que je n'arrive pas à vérifier en effet...
en gros, j'imagine qu'il faut que je trouve P(k+1) , Q(k+1) et r(k+1) mais c'est là que je n'y arrive pas
Ah d'accord tu aurais du noter R(k+1)
pour qu'un individu soit AA, il faut soit qu'il ait été AA, soit Aa.
tout les AA deviennent AA (homozygotes) et le quart des Aa devient AA (hétérozygotes)
donc P(k+1)= Pk +1/4Qk, ce que l'on observe
j'ai une autre petite question,
on me demande de justifié à partir résultat trouvé que Rk=R0*M^k
ça suffit de répondre en disant que R est une suite géométrique de raison la matrice M, donc Rk=R0*M^k ?
Merci encore
Non tu raisonne sur des matrices, tu ne peut pas utiliser les résultats sur les suites.
Une petite récurrence s'impose...
Ah dommage !
j'ai bien P(n): Rk=Ro*M^k ?
Pour l'initialisation je trouve Ro comment ?
Et pour l'hérédité je fais :
Rk=Ro*M^k
R(k+1)=RkM=Ro*M^k*M=Ro*M^(k+1)
C'est bon ça ?
Id
Ok, autre souci,
(1 0 0
j'ai la matrice N= 0 1 1
-1 2 0)
et je dois montrer que
(1 0 0
N^(-1)= 1/2 0 1/2
-1/2 1 1/2)
Ce qui est bizarre c'est qu'on a uniquement vu comment calculer l'inverse d'une matrice 2x2 et jaimais au delà...
Peut être qu'il y a une méthode simple que je ne vois pas ?
la dernière ligne de N-1 devrait être -1/2 1 -1/2
tu t'es trompé sur le dernier coefficient de la deuxième ligne de la première matrice.
je me suis trompé dans mes résultats, j'ai :
pour NxN^-1
1 0 0
0 1 1
0 0 1
et pour N^-1xN
1 0 0
0 1 0
-1 2 1
mais en effet, si la dernière ligne de N-1 est -1/2 1 -1/2 on a bien I3, il doit y avoir une erreur dans l'énoncé...
Encore une difficulté...
on me demande de calculer D=N^-1*M*N je trouve une matrice diagonale
Ensuite on me demande de Montrer que M=NDN^-1, jusque là pas de probleme
Mais on me demande ensuite de déduire M^n, là je suis bloqué...
En fait je sais que M^n=(NDN^-1)^n mais est-ce que ça vaut (NN^-1)^n*D^n si oui alors c'est bon, mais je ne suis pas sur de cette égalité
attention, les matrices ne sont pas commutatives...
tu ne peut que écrire M=NnDn(N^(-1))n
mais essaye de voir si Mn=NDnN-1
Oui c'est bon, je viens de trouver ce résultat, est-il connu, ou il faut le démontrer ? par récurrence ?
Maintenant j'ai M^n et je dois trouver
je dis que c'est égal à mais le probleme c'est que je ne connais pas Ro
Je pense qu'il est bon de le connaitre, mais il faut savoir le redémontrer par récurrence pour le justifier.
L'énoncé ne te donne pas les conditions initiales?
Je pense en faites que tu n'en a pas besoin. Note P0,Q0et r0 les conditions initiales.
La limite n'en dépend pas
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