Bonjour

Comme I et N commutent, tu peux appliquer l'identité remarquable Iⁿ-Nⁿ=(I-N)(??)

Bonjour!

J'ai peut-être mal compris l'énoncé mais:
Ip-N non inversible <=>
det(Ip-N)=0 <=>
1 valeur propre de N, ce qui est exclu puisque N est nilpotente

merci de ta réponse Camélia.

en effet; je me souvient maintenant.
comment le latex n'est pas mon fort, je passe les calculs du binôme de Newton
Nos deux éléments commutant, on peut écrire que (I^n)-(N^n) = (I-N)*()=I^n=I
d'ou mon N^-1 =()=A

question subsidiaire : puis-je justifier que AN=NA=I car mes éléments commutent ou dois-je refaire mon calcul ?

merci !

merci de ta contribution rogerd mais je pense que sans passer pas les endomorphisme et les valeur propre on puisse exhiber l'inverse de N. Nan ?

pardons pour le latex :
(I-N)*()

en gros la somme des N^k variant de 0 à n

Je n'avais pas compris qu'on demandait l'inverse de Ip-N, mais seulement qu'on demandait de prouver qu'elle était inversible.

en effet. Après vérification c'est ce que l'on me demande. mais je vois pas avec det ...

en plus j'ai fait une erreur j'ai oublié de mettre le

( n )
( k )    dans ma somme

2cris la factorisation de 1-xⁿ pour x réel!

salut,
bas en faite je comprend pas ce que tu as marqué
normalement dans la formule binomiale, il y a

@bienôt

Oui, mais ce n'est pas la formule du binôme! Ecris pour n=2!

pour n=2

(I^n - N^n) = (I^2 - N^2)=((I - N)(I + N)
essayons avec
(I^3 - N^3) = (I - N)(I^2+ IN+N^2)

donc si j'ai bien compris l'identité remarquable considérée est autre que
(a^n-b^n)=(a-b)(Somme des N^k variant de 0 à n-1)
?????

Eh oui!