bonjour,
à l'aide d'un logiciel de calcul sur internet j'ai trouvé ce résultat pour   :


0.778 -1.000 -0.444  0.889
-2.222  3.000 -1.444 -2.111
-0.556  1.000 -0.111 -0.778
0.778 -1.000  0.556  0.889

à toi de vérifier que  

Bonjour,
en valeur exacte on aura :

bonjour Ted,

c'est effectivement mieux ainsi

la vérification en sera plus simple.

Bonne journée!

salut, en panne de logiciel ?
Coller dans la console ici les commandes (une par ligne)
M:=[[2,-1,5,0],[1,1,3,4],[-1,0,0,1],[0,2,-1,5]]
M^-1

Merci pour vos réponses!

Bonjour
on ne dispose pas toujours de logiciel

à la main il existe plusieurs méthodes

la plus simple à expliquer est aussi la plus "chiante" à calculer mais ce qui compte ici c'est que le principe soit compris facilement

METHODE PAR DETERMINANT

avec cette méthode il faut calculer le determinant de la matrice A
si ce determinant est nul alors ta matrice A ne possède pas d'inverse
par ailleurs si ta matrice n'est pas carré alors elle ne possède pas de determinant et de fait elle n'a pas d'inverse


tu dispose d'une matrice carré A de dimension n dont les composantes sont des éléments que tu va noter tu dispose donc de éléments où i et j sont des indices qui vont de 1 à n

pour cela tu considere le symbole d'anti-symetrie que l'on note où i,j,k,l sont des indices qui vont de 1 à n
ce symbole peut prendre trois valeurs 0,1 ou -1

pour determiner la valeur de
tu doit considerer l'ordre originel des indices est tel que

-lorsque au moins deux des indices sont identiques alors   

-lorsque l'ordre des indices est l'ordre originel ou proviens d'une permutation paire depuis l'ordre originel alors
par exemple effectivement
123 -> 2,1,3(premiere permutation) -> 2,3,1(deuxième permutation)

-lorsque l'ordre des indices proviens d'une permutation impaire depuis l'ordre originel alors
par exemple effectivement
123 -> 2,1,3(premiere permutation)

ALORS pour calculer le determinant de la matrice A on applique la sommation (dite sommation de Einstein)

tu attribue toutes les valeur de 1 à n aux indices et tu fait la somme

le determinant de la matrice unitée est 1 cette matrice unitée on va la noter Id


ce produit signifie que tu décompose la base Id sur la base A

considere tes elements
par comparaison avec l'espace vectoriel dont les éléments sont des vecteurs

tu peut dire que ta matrice A est composée de n vecteurs de l'espace vectoriel
et noter ces vecteurs selon :
represente le premier "vecteur" qui constitue ta matrice
represente le deuxieme "vecteur" qui constitue ta matrice

et ainsi de suite jusqu'au n ième vecteur
represente le deuxieme "vecteur" qui constitue ta matrice

on à present
là tu va construire une premiere série de n matrices toutes de dimension n et que tu va noter donc cette serie de n matrices est constituée des matrices , ,...,

puis ensuite une deuxième serie que tu va noter donc cette serie de n matrices est constituée des matrices , ,...,

et ainsi de suite jusqu'à la derniere serie
, ,...,
  

description de la première matrice de la premiere serie
le premier vecteur de cette matrice est definit par le premier vecteur de la matrice identitée Id
le deuxieme vecteur de cette matrice est definit par le deuxieme vecteur de la matrice A  
le troisième vecteur de cette matrice est definit par le troisieme vecteur de la matrice A  
...
le n ième vecteur de cette matrice est definit par le n ième vecteur de la matrice A

description de la deuxieme matrice de la premiere serie
le premier vecteur de cette matrice est definit par le premier vecteur de la matrice A
le deuxieme vecteur de cette matrice est definit par le premier vecteur de la matrice identitée Id  
le troisième vecteur de cette matrice est definit par le troisieme vecteur de la matrice A  
...
le n ième vecteur de cette matrice est definit par le n ième vecteur de la matrice A

et ainsi de suite jusqu'à
description de la n ième matrice de la premiere serie
le premier vecteur de cette matrice est definit par le premier vecteur de la matrice A
le deuxieme vecteur de cette matrice est definit par le deuxième vecteur de la matrice A  
le troisième vecteur de cette matrice est definit par le troisieme vecteur de la matrice A  
...
le n ième vecteur de cette matrice est definit par le premier vecteur de la matrice identitée Id

à présent

description de la première matrice de la deuxieme serie
le premier vecteur de cette matrice est definit par le deuxieme vecteur de la matrice identitée Id
le deuxieme vecteur de cette matrice est definit par le deuxieme vecteur de la matrice A  
le troisième vecteur de cette matrice est definit par le troisieme vecteur de la matrice A  
...
le n ième vecteur de cette matrice est definit par le n ième vecteur de la matrice A

description de la deuxieme matrice de la deuxieme serie
le premier vecteur de cette matrice est definit par le premier vecteur de la matrice A
le deuxieme vecteur de cette matrice est definit par le deuxieme  vecteur de la matrice identitée Id  
le troisième vecteur de cette matrice est definit par le troisieme vecteur de la matrice A  
...
le n ième vecteur de cette matrice est definit par le n ième vecteur de la matrice A

et ainsi de suite jusqu'à
description de la n ième matrice de la deuxieme serie
le premier vecteur de cette matrice est definit par le premier vecteur de la matrice A
le deuxieme vecteur de cette matrice est definit par le deuxième vecteur de la matrice A  
le troisième vecteur de cette matrice est definit par le troisieme vecteur de la matrice A  
...
le n ième vecteur de cette matrice est definit par le deuxieme vecteur de la matrice identitée Id

et ainsi de suite jusqu'à

description de la première matrice de la n ième serie
le premier vecteur de cette matrice est definit par le n ième vecteur de la matrice identitée Id
le deuxieme vecteur de cette matrice est definit par le deuxieme vecteur de la matrice A  
le troisième vecteur de cette matrice est definit par le troisieme vecteur de la matrice A  
...
le n ième vecteur de cette matrice est definit par le n ième vecteur de la matrice A

description de la deuxieme matrice de la n ième serie
le premier vecteur de cette matrice est definit par le premier vecteur de la matrice A
le deuxieme vecteur de cette matrice est definit par le n ième  vecteur de la matrice identitée Id  
le troisième vecteur de cette matrice est definit par le troisieme vecteur de la matrice A  
...
le n ième vecteur de cette matrice est definit par le n ième vecteur de la matrice A

et ainsi de suite jusqu'à
description de la n ième matrice de la n ième serie
le premier vecteur de cette matrice est definit par le premier vecteur de la matrice A
le deuxieme vecteur de cette matrice est definit par le deuxième vecteur de la matrice A  
le troisième vecteur de cette matrice est definit par le troisieme vecteur de la matrice A  
...
le n ième vecteur de cette matrice est definit par le n ième vecteur de la matrice identitée Id


à présent on considere les composantes de la matrice inverse

notons l'inverse de A et notons les composantes de Z


voilà  

Bonsoir amethyste

en terminale ils n'ont pas besoin de savoir inverser une matrice "à la main" : soit à la calculatrice soit un logiciel

dommage la demo de amethyste etait vraiment tres convaincante

certes mais incompréhensible pour un terminale