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Matrice inversible
Bonjour à tous
J'ai un exercice merci beaucoup d'avance
•Soit A une matrice de Mn(K). Supposons qu'il existe une matrice B ∈ Mn(K) telle
que AB = In ou bien BA = In. Montrer que A est inversible et B = A-1
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Voici mes suggestions
On sait que si A est inversible donc
A.A-1=A-1.A=In et A-1=B car AB=In donc
A-1 A=BA=In
Merci beaucoup d'avance
Bonjour,
Il faut démontrer d'abord que A est inversible.
Ce que tu as écrit est une suite d'affirmations sans lien clair.
Bonjour
D'accord merci beaucoup de m'avoir répondu !
Pour montrer que A est inversible il faut que det(A)≠0 (on ne peut pas l'utiliser)
Et AB=I3=BA
Une petite indication s'il vous plaît merci beaucoup d'avance
on ne peut pas l'utiliser
Si cette propriété figure dans ton cours, tu peux t'en servir.
Ton dernier message n'apporte rien.
As-tu dans ton cours une propriété sur les matrices inversibles qui parle du déterminant ?
Si oui, quelle est cette propriété ?
Dans mon cours j'ai ceci
•Si A est inversible,
alors AA-1=A-1A=In,d'où det(AA-1) = det(A)×det(A-1)=det(In) = 1, par suite det(A)≠ 0 et det(A-1) =
Bonsoir,
je me permets d'intervenir.
S'il existe une matrice B telle que AB=In alors A est inversible par définition.
Si tu n'as pas la réciproque, il faut faire intervenir les endomorphismes de Kn associés aux matrices A et B.
Propriété directe :
Si A est inversible alors detA 
0.
La réciproque :
Si detA 0 alors A est inversible.
C'est quoi ce message, un extrait de ton cours ?
Ça veut dire quoi "on vérifie que" ?
Je ne vais plus être disponible.
Bonjour
Si A est inversible , l'inverse A-1 de A est donnée par la formule
Avec 1≤i≤n
et 1≤j≤n
La matrice
Avec 1≤i≤n
et 1≤j≤n s'appelle la comatrice associée à A qu'on note
Com(A), et le coefficient Cij=(-1)i+j det (Aij) s'appelle le cofacteur d'indice ij.
Merci beaucoup
Bonsoir,
Tu as tout les éléments pour conclure surtout que tu as vu les déterminants.
; ce sont des matrices carrées.
Tu as montré que est inversible, donc que peut on dire de l'existence de
?
Utilise le résultat précédent avec
Bonjour
On a Si det(A) ≠ 0, donc
Avec s'appelle la comatrice associée à A qu'on note
Com(A) donc :
que peut on dire de l'existence de
Je suis désolé mais je ne comprends pas bien le sens de la question une indication s'il vous plaît merci beaucoup d'avance
Bonjour
tu pars par exemple de (ce serait du même style en partant de BA = I)
peut-on avoir det(A) = 0 sachant que ?
conclusion, A est-elle inversible ?
si oui, A admet donc une inverse : multiplie l'égalité
à gauche par
, qu'obtiens-tu ?
Bonjour
On ne peut pas avoir det A =0 car dans ce cas A est non inversible même si AB=In
Merci beaucoup
ça ne veut pas dire grand chose ...
le déterminant est multiplicatif
AB = I => det (A) x det (B) = det (I) = 1
...
Bonjour
Merci beaucoup à vous tous pour vos conseils !
Donc on aboutit directement au résultat souhaité on disait
On a par exemple AB=In et puisque le déterminant est multiplicatif alors det(AB)=det A*det B=det In=1
Donc det B=1/detA=det(A-1)
Donc B=A-1
Merci beaucoup à tous
Tu vas un peu vite, là ! Ce n'est pas parce que deux matrices ont le même déterminant qu'elles sont égales !
Ce que tu as écrit te permet de dire pourquoi det(A) ne peut pas être nul. Réfléchis y
Puis reprends le cheminement que je t'ai proposé un peu plus haut
Bonjour
J'ai dit en haut ceci
On ne peut pas avoir det A =0 car dans ce cas A est non inversible même si AB=In
Tu appelles ça un raisonnement ? Tu dois vérifier que det(A) est non nul pour en déduire que A est inversible. Pas question donc de justifier la non nullité du déterminant par l'inversibilité de A !
Je répète , à partir de det (A)det (B)=1, tu as tout ce qu'il faut pour être certain que det (A) est non nul
Un enfant de l'école primaire sait déjà pourquoi c'est impossible d'avoir zéro multiplié par quelque chose =1, ne me dis pas que tu ne vois pas pourquoi !
Mets toi bien dans la tête que les maths c'est avant tout du bon sens, pas des trucs compliqués dans le style incantation magique. Fais preuve de bon sens et tout ira bien
Bonjour
On a par exemple AB=In
Donc det(AB)=det(In)=1
<=> det A * det B=1 donc det A≠0
Car 0*quelque chose ne donne pas 1 !
Et A est inversible
Donc det B=1/det A=det( A-1)
Merci beaucoup
Ce n'est pas det (B) qu'on te demande à la fin
Relis la toute dernière partie de l'énoncé., tu y es presque !
Bonsoir,
On ne te demande pas de calculer et épagneul nous les formule du cours qui déterminent
en fonction des coefficients et déterminants.
Tu as montré que existe.
Imagine que tu cherche tel que :
, que ferais tu?
Ce n'est pas det (B) qu'on te demande à la fin
Relis la toute dernière partie de l'énoncé., tu y es presque !
je me répète ...
Bonjour
D'accord
On a par exemple AB=In
Donc det(AB)=det(In)=1
<=> det A * det B=1 donc det A≠0
Car 0*quelque chose ne donne pas 1 !
Et A est inversible
Donc det B=1/det A=det( A-1)et par conséquent B=A-1
Merci beaucoup à tous
ça ne va toujours pas ...
si A est inversible d'inverse A-1 alors de la relation AB = I on déduit A-1(AB) = A-1
et puisque le produit est associatif alors B = A-1
...
on t'avait déjà dit que l'égalité des déterminants ne suffit pas , mais alors pas du tout, pour conclure à l'égalité des matrices ....
tu lis ce qu'on te raconte ?
Bonjour
Oui bien sûr je lis ce que vous racontez !
Mais je ne comprends pas pourquoi l'égalité des déterminants ne suffit pas pour conclure , je ne sais pas qu'est ce qu'il manque (on a A est inversible )
Merci beaucoup
tu as déjà vu que A non inversible <=> det(A)=0
on a par ailleurs det(matrice nulle) = 0
tu crois que toutes les matrices sont inversibles à part la matrice nulle ?
Bonsoir 
On peut aussi remarquer que si vérifient
alors est une matrice de projection
de trace nulle vu que
et comme on conclut que
sauf erreur de ma part bien entendu
Vérifie par un contre-exemple.
Tu prends une matrice plus ou moins au hasard :
Par exemple
(1,2)
(3,4)
Puis tu calcules son déterminant d
Puis tu calcules 1/d
Puis tu cherches différentes matrices qui ont comme déterminant 1/d (faut être un peu débrouillard pour construire ces matrices).
Et donc, tu serais en train de dire que toutes ces matrices avec comme déterminant 1/d seraient toutes les inverses de la matrice initiale ?
Ou bien , plus simple
Voici 2 matrices
(1, 0)
(2, 3)
et
(1, 0)
(5, 3)
Ces 2 matrices ont le même déterminant. Et donc elles ont la même matrice inverse ?
Pour définir une matrice carrée, en dimension 2, il faut 4 nombres; quand on calcule son déterminant, on n'a plus qu'un seul nombre.
Forcément, on perd plein d'informations. Une matrice n'est pas parfaitement définie par son seul déterminant.
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