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Matrice Mp,q inversible

Posté par
Mari0 27-02-22 à 16:38

Bonjour à vous,
je refaisais un DS et je bloque sur la résolution d'une question ou plutôt je ne comprends pas bien ce que mon professeur a mit sur la correction (ci-dessous).
Voila la question et le corrigé :

"J=\begin{pmatrix} 1 &1&1 \\1&1 &1\\1&1&1 \end{pmatrix}, X0=\begin{pmatrix} 1\\1\\1 \\ \end{pmatrix}, Mp,q=\begin{pmatrix} p+q &q &q \\ q& p+q &q \\ q&q & p+q \end{pmatrix}

1. Notons Yp,q = Mp,q ·X0. Que vaut Yp,q ?
2. Calculer J2, puis J3. Conjecturer l'expression de Jn pour tout entier n ≥ 1. Puis vérifier votre
conjecture par récurrence.
3. Montrer que M est stable par la multiplication, c'est-à-dire que si A et B sont dans M leur
produit AB appartient également à M. Pour cela on exprimera les coordonnées (p'',q'')
4.Montrer Mp,q n'est pas inversible lorsque p = 0.
5. Déduire de 3) et 4) que si p \neq 0 et p +3q \neq 0 alors Mp,q est inversible

Je n'ai aucun mal pour les 4 premières questions mais pour la question 5, mon professeur pose p''=1 et q''=0 et je n'arrive pas à voir d'où cela sort...
( je précise que je n'ai pas encore vu les espaces vectorielles qui d'après mes recherches semblent se rapprocher de cela)
Merci pour votre aide

Posté par
Mari0re : Matrice Mp,q inversible 27-02-22 à 16:39

Mari0 @ 27-02-2022 à 16:38

Bonjour à vous,
je refaisais un DS et je bloque sur la résolution d'une question ou plutôt je ne comprends pas bien ce que mon professeur a mit sur la correction.
Voila le sujet:

"J=\begin{pmatrix} 1 &1&1 \\1&1 &1\\1&1&1 \end{pmatrix}, X0=\begin{pmatrix} 1\\1\\1 \\ \end{pmatrix}, Mp,q=\begin{pmatrix} p+q &q &q \\ q& p+q &q \\ q&q & p+q \end{pmatrix}

1. Notons Yp,q = Mp,q ·X0. Que vaut Yp,q ?
2. Calculer J2, puis J3. Conjecturer l'expression de Jn pour tout entier n ≥ 1. Puis vérifier votre
conjecture par récurrence.
3. Montrer que M est stable par la multiplication, c'est-à-dire que si A et B sont dans M leur
produit AB appartient également à M. Pour cela on exprimera les coordonnées (p'',q'')
4.Montrer Mp,q n'est pas inversible lorsque p = 0.
5. Déduire de 3) et 4) que si p \neq 0 et p +3q \neq 0 alors Mp,q est inversible

Je n'ai aucun mal pour les 4 premières questions mais pour la question 5, mon professeur pose p''=1 et q''=0 et je n'arrive pas à voir d'où cela sort...
( je précise que je n'ai pas encore vu les espaces vectorielles qui d'après mes recherches semblent se rapprocher de cela)
Merci pour votre aide

Posté par
Mari0re : Matrice Mp,q inversible 27-02-22 à 16:40

Mari0 @ 27-02-2022 à 16:39

Mari0 @ 27-02-2022 à 16:38

Bonjour à vous,
je refaisais un DS et je bloque sur la résolution d'une question ou plutôt je ne comprends pas bien ce que mon professeur a mit sur la correction.
Voila le sujet:

"J=\begin{pmatrix} 1 &1&1 \\1&1 &1\\1&1&1 \end{pmatrix}, X0=\begin{pmatrix} 1\\1\\1 \\ \end{pmatrix}, Mp,q=\begin{pmatrix} p+q &q &q \\ q& p+q &q \\ q&q & p+q \end{pmatrix}

1. Notons Yp,q = Mp,q ·X0. Que vaut Yp,q ?
2. Calculer J², puis J3. Conjecturer l'expression de Jn pour tout entier n ≥ 1. Puis vérifier votre
conjecture par récurrence.
3. Montrer que M est stable par la multiplication, c'est-à-dire que si A et B sont dans M leur
produit AB appartient également à M. Pour cela on exprimera les coordonnées (p'',q'')
4.Montrer Mp,q n'est pas inversible lorsque p = 0.
5. Déduire de 3) et 4) que si p \neq 0 et p +3q \neq 0 alors Mp,q est inversible

Je n'ai aucun mal pour les 4 premières questions mais pour la question 5, mon professeur pose p''=1 et q''=0 et je n'arrive pas à voir d'où cela sort...
( je précise que je n'ai pas encore vu les espaces vectorielles qui d'après mes recherches semblent se rapprocher de cela)
Merci pour votre aide

Posté par
BlackBirdre : Matrice Mp,q inversible 27-02-22 à 16:46

Bonjour Mari0.
Qu'appelles-tu M?

Posté par
Mari0re : Matrice Mp,q inversible 27-02-22 à 16:53

M={Mp,q où (p,q) \in R²} est l'ensemble des combinaisons linéaires à coefficients réels de I et J. On appellera coordonnées de Mp,q le couple(p,q).
J'avais oublié de le préciser

Posté par
carpediemre : Matrice Mp,q inversible 27-02-22 à 16:53

salut

où vivent p et Q ?

donc ton professeur décide de prendre (p, q) = (1, 0) !!

en a-t-il le droit ?

Posté par
carpediemre : Matrice Mp,q inversible 27-02-22 à 16:55

les résultats de la questions 2/ donnent la réponse à la question 5/ ...

Posté par
Mari0re : Matrice Mp,q inversible 27-02-22 à 17:10

carpediem @ 27-02-2022 à 16:55

les résultats de la questions 2/ donnent la réponse à la question 5/ ...

Bonjour carpediem,
pouvez vous m'expliquer comment car mon énoncé suggère que j'utilise la 3) et la 4) ?

Posté par
carpediemre : Matrice Mp,q inversible 27-02-22 à 17:14

4/ impose nécessairement que p 0 d'après 2/ !!

ensuite tu peux remarquer M_{p,q} = pI + qJ

je t'invite alors à calculer le carré et le cube de M(p, q) en utilisant les résultats de 2/ ...

quels sont les résultats de 2/ ?

Posté par
carpediemre : Matrice Mp,q inversible 27-02-22 à 17:15

et il nous faudrait aussi le résultat de 4/ ...

Posté par
Mari0re : Matrice Mp,q inversible 27-02-22 à 18:51

Pour la 2/ on montre que Jn=3n-1J pour tout n>=1
Pour la 4/ Mp,q n'est pas inversible car pour p=0, Mp,q=qJ
Or J n'est pas inversible
mais là encore je ne vois pas vraiment le lien de choisir p=1 et q=0
Mercii

Posté par
carpediemre : Matrice Mp,q inversible 27-02-22 à 19:08

Mari0 @ 27-02-2022 à 18:51

mais là encore je ne vois pas vraiment le lien de choisir p=1 et q=0
Mercii
certes mais pourquoi faire ??

car ça ne répond pas à la question donc soit c'est pour montrer un exemple de matrice inversible qui est dans M soit c'est pour en faire quelque chose ...

pardon ce n'est pas le résultat de 4/ mais de 3/ : que vaut M(a, b) * M(c, d) ?

Posté par
Mari0re : Matrice Mp,q inversible 27-02-22 à 22:01

Bonsoir,
je viens de reprendre l'exercice et j'ai enfin compris !
Puisqu'on veut montrer que Mp,q est inversible, on peut trouver un M-1p,q tel que :
Mp,q*M-1p,q= I

et donc d'après 3) p''=1 et q''=0 et donc on remplace cela dans notre expression de p'' et q'' et on trouve la solution !
Merci beaucoup pour votre aide j'aurais du y penser avant
Bonne soirée à vous

Posté par
Mari0re : Matrice Mp,q inversible 27-02-22 à 22:03

Mari0 @ 27-02-2022 à 22:01

Bonsoir,
je viens de reprendre l'exercice et j'ai enfin compris !
Puisqu'on veut montrer que Mp,q est inversible, on peut trouver un M-1p,q tel que :
Mp,q*M-1p,q= I

et donc d'après 3) p''=1 et q''=0 et donc on remplace cela dans notre expression de p'' et q'' et on trouve la solution !
Merci beaucoup pour votre aide j'aurais du y penser avant
Bonne soirée à vous

ou plutot d'après 3) on peut résoudre notre système en prenant p''=1 et q''=0 cela est mieux dit

Posté par
carpediemre : Matrice Mp,q inversible 27-02-22 à 23:23

peux-tu nous dire :

carpediem @ 27-02-2022 à 19:08

pardon ce n'est pas le résultat de 4/ mais de 3/ : que vaut M(a, b) * M(c, d) ?
merci ...

Posté par
Mari0re : Matrice Mp,q inversible 28-02-22 à 20:51

carpediem @ 27-02-2022 à 23:23

peux-tu nous dire :
carpediem @ 27-02-2022 à 19:08

pardon ce n'est pas le résultat de 4/ mais de 3/ : que vaut M(a, b) * M(c, d) ?
merci ...

On trouve finalement que \left\lbrace\begin{matrix} p''=pp'\\q''=pq'+qp'+3qq' \end{matrix}\right.  garantit la stabilité de M par multiplication
(pardon pour le temps je n'avais pas vu votre message)


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