Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Maths sup AlgèbreTopics traitant de algèbre [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau Maths sup
Partager :

Matrice n-ième

Posté par
Skops 02-05-08 à 12:33

Bonjour,

Je voudrais déterminer la matrice n-ième de 4$M=\(\array{b&b&...&b&a\\b&b&...&a&b\\.&.&%20&.&.\\.&.&%20&.&.\\.&.&%20&.&.\\b&a&...&b&b\\a&b&...&b&b\)\in\scr{M}_p({\bb%20K})

J'arrive à

4$M^n=b^nJ^n+\frac{J}{n}(bn-(b-a)K)^n avec K, la matrice avec uniquement des 1 sur la deuxième diagonale, des zeros sinon.

Si cela est juste, on peut pas faire mieux en extrayant le K ?

Skops

Posté par
Camélia Correcteurre : Matrice n-ième 02-05-08 à 14:50

Bonjour

Je n'ai pas vraiment fait les calculs, mais sauf erreur K2=I ce qui devrait quand même simpifier...

Posté par
Skopsre : Matrice n-ième 02-05-08 à 14:52

Bonjour Camelia

Oui, j'avais bien vu ca, j'ai donc tenté de séparer la somme en deux sommes. L'un avec des termes pairs et l'autre  avec des termes impairs. Seulement, K^{2k+1}=K et il me reste un K dans un des somme. A cause de cela, je n'arrive pas à réassembler les deux sommes pour n'en faire qu'une

Skops

Posté par
Camélia Correcteurre : Matrice n-ième 02-05-08 à 14:54

C'est posible que tu aies à distinguer des formules différentes selon que n est pair ou impair...

Posté par
Skopsre : Matrice n-ième 02-05-08 à 15:03

Je bloque à

4$M^n=(Jb)^n+\frac{J}{n}[\bigsum_{k=1}^n\(n\\2k\)(bn)^{n-2k}(b-a)^{2k}+\bigsum_{k=1}^n\(n\\2k-1\)(bn)^{n-2k+1}((b-a)K)^{2k-1}]

Skops

Posté par
Camélia Correcteurre : Matrice n-ième 02-05-08 à 15:09

C'est possible que l'on ne puisse pas faire mieux avec cette méthode! Quique au moins Jn=nJ...

Néanmoins ta matrice m'a l'air en général diagonalisable (c'est vrai pour n=2 et n=3) donc on peut peut-être faire mieux...

Posté par
Skopsre : Matrice n-ième 02-05-08 à 15:11

Le pivot de Gauss suffit pour diagonaliser la matrice ?

Skops

Posté par
Camélia Correcteurre : Matrice n-ième 02-05-08 à 15:15

Non, il faut faire tout un boulot de vecteurs et valeurs propres... Si tu n'a pas encore vu, ce n'est peut-être pas une bonne idée...

Posté par
Skopsre : Matrice n-ième 02-05-08 à 15:17

Ah bah pas vu

Skops

Posté par
Camélia Correcteurre : Matrice n-ième 02-05-08 à 15:18

Pleure pas... ce n'est pas si important de connaitre la puissance n-ème de cette matrice!

Posté par
Skopsre : Matrice n-ième 02-05-08 à 15:20

:D
Mais bon, c'est gui_tou qui m'a proposé cet exo, il doit donc avoir une solution adapté en sup

Skops

Posté par
Camélia Correcteurre : Matrice n-ième 02-05-08 à 15:28

C'est possible qu'il ait une super-astuce, mais j'avoue que là, à première vue elle ne me saute pas aux yeux! En fait moi j'aurais commencé par écrire M=aJ+bK avec ta K mais avec J ayant des 1 partout sauf sur la seconde diagonale. Mais d'abord je ne suis pas sure que cette J commute avec K, puis ses puissances ne sont peut-être pas si évidentes non plus...

Posté par
raymond Correcteurre : Matrice n-ième 02-05-08 à 15:47

Bonjour.

J'ai également regardé ce sujet.

J'appelle J la matrice dont tous les termes valent 1, K la matrice dont tous les termes sont nuls sauf ceux de la seconde diagonale qui valent 1.

Alors : M = b.J + (a-b).K

De plus, J² = n.J, K² = I, K.J = J.K = J.

Cela signifie que M appartient à la sous-algèbre engendrée par I,J,K.

On peut alors écrire : 2$\textrm M^n = p_n.I + q_n.J + r_n.K

Ensuite chercher une relation de récurrence sous forme d'une matrice A d'ordre 3.

Cette matrice est diagonalisable, mais deux des valeurs propres comportent des radicaux (sauf a = b, ou b = 0).

Alors, les calculs semblent fastidieux. Remarquons que les puissances paires et impaires de M ne se comportent pas de la même manière.

Posté par
Camélia Correcteurre : Matrice n-ième 02-05-08 à 15:49

Bonjour raymond. C'est bien ce qu'il me semblait... (J'ai fini de lire la dualité III, tu peux valider)

Posté par
raymond Correcteurre : Matrice n-ième 02-05-08 à 15:52

Bonjour Camélia.

Merci vraiment pour cette relecture. C'est vrai que je ne sais pas faire "court", tu as d'autant plus de mérite !

Cordialement RR.

Posté par
Skopsre : Matrice n-ième 02-05-08 à 20:39

Si tu vois ce message gui_tou...

Skops

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Matrice n-ième 02-05-08 à 21:04

Salut Skops

Une idée ajoute et retranche la matrice scalaire bI

tu auras M=(a-b)J+bK

J est la matrice avec 1 dans la deuxième diagonale et K la matrice toute remplie de 1 (une matrice célèbre qu'on peut calculer facilement sa puissance nième !

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Matrice n-ième 02-05-08 à 21:05

Au fait, je suis très impoli: Salut Camélia et Raymond

Posté par
gui_toure : Matrice n-ième 02-05-08 à 21:10

Bonjour à tous

On définit 3$\rm M=\(\array{b&b&...&b&a\\b&b&...&a&b\\.&.&%20&.&.\\.&.&%20&.&.\\.&.&%20&.&.\\b&a&...&b&b\\a&b&...&b&b\)\in\scr{M}_p({\bb%20K}) et   3$\rm a,b\in{\bb R},\;n\ge2

On exprime A comme combinaison linéaire de N, la matrice dont tous les termes valent 1, et J la matrice dont tous les termes sont nuls sauf ceux de la seconde diagonale qui valent 1.

(désolé Raymond pour les notations, mais j'ai en des différentes )

Bien sûr, 3$\rm N,J\in\scr{M}_p{{\bb R})

On exprime M comme combinaison linéaire de N et J :

3$\rm \fbox{M = bN + (a-b)J

M est une matrice de rang 1, et 3$\rm\fbox{\forall k\in{\bb N}^*,\;N^k=p^{k-1} N

( soit on dit : ça se voit, en prenant p=2 ou p=3 ; si on veut une preuve rigoureuse, on revient à 3$\rm J=[a_{ij}] avec 3$\rm a_{ij}=\{1 si i+j=p+1\\0 sinon , 3$\rm J^2=[c_{ij}] avec 3$\rm c_{ij}=\Bigsum_{k=1}^na_{ik}a_{kj )

Pour tout k entier naturel, on a 3$\rm\fbox{J^k=\{I_p si k pair\\J si k impair

On remarque que 3$\rm NJ=JN=N

Le binôme de Newton donne alors :

3$\rm M^n = \Bigsum_{k=0}^n \(n\\k\) (bN)^k(a-b)^{n-k}J^{n-k}

3$\rm M^n = \Bigsum_{k=1}^n \(n\\k\) b^k(a-b)^{n-k}N^kJ^{n-k} + \(n\\0\)b^0(a-b)^nM^0J^n

3$\rm M^n = \Bigsum_{k=1}^n \(n\\k\) b^k(a-b)^{n-k}p^{k-1}N.J^{n-k} + (a-b)^nJ^n

Remarque :

3$\rm N.J^{n-k}=N.J=N\;\;ou\;\;NJ^{n-k}=NI_p=N

D'où :  3$\rm M^n = \(\Bigsum_{k=1}^n \(n\\k\) b^k(a-b)^{n-k}p^{k-1}\)N + (a-b)^nJ^n

3$\rm \Bigsum_{k=1}^n \(n\\k\) b^k(a-b)^{n-k}p^{k-1} = \fr1p\(\Bigsum_{k=0}^n \(n\\k\) (b.p)^k(a-b)^{n-k}-\(n\\0\)(b.p)^0(a-b)^n\) \\ =\fr1p\((a-b+bp)^n-(a-b)^n\)

Conclusion : pour tout entier naturel n,

3$\rm\fbox{\fbox{ M^n = \fr1p\((a-b+bp)^n-(a-b)^n\)N + (a-b)^nJ^n

Posté par
gui_toure : Matrice n-ième 02-05-08 à 21:17

Lire N est une matrice de rang 1

et deux lignes après "le binôme donne" : le terme à la fin contient un N^0, pas un M^0.

Sauf nouvelles erreurs

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Matrice n-ième 02-05-08 à 21:18

Salut guitou !

mon idée se confirme ! dieu merci !

Posté par
gui_toure : Matrice n-ième 02-05-08 à 21:19

Salut Momo !

Vi vi, bien vu! Comme Raymond d'ailleurs

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Matrice n-ième 02-05-08 à 21:20

ah oui, j'ai pas vu la réponse de raymond !

je sors ->

Posté par
Skopsre : Matrice n-ième 02-05-08 à 21:28

Ok merci

Skops


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !