Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... École ingénieur AlgèbreTopics traitant de algèbre [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau école ingénieur
Partager :

Matrice nilpotente

Posté par
matheux14 10-03-24 à 16:30

Bonjour,

Merci d'avance.

Pour toute matrice nilpotente non nul A de M_n(\mathbb{K}), on pose

\mathfrak{R} a c(A)=\left\{M \in M_n(\mathbb{K}) / M^2=A+I_n\right\}

Soit P le polynôme de Taylor obtenu en faisant le développement limité de la fonction x \longmapsto \sqrt{1+x} au voisinage de 0 à l'ordre n-1 :

\sqrt{1+x}=P(x)+\mathrm{o}\left(x^{n-1}\right)

Montrer que P(A) \in \mathfrak{R} a c(A).

Réponses :

Il suffit de montrer que [P(A)]^2 = A + I_n

On a

\begin{aligned}\sqrt{1+x}=P(x)+\mathrm{o}\left(x^{n-1}\right) &\Longrightarrow P(x) = \sqrt{x + 1} + o(x^{n - 1}) \\ \\ &\Longrightarrow (P(x))^2 = 1 + x + o(x^{n - 1}) \\ \\ &\Longrightarrow [P(A)]^2 = I_n + A \\ \\ &\Longrightarrow P(A) \in \mathfrak{R}ac(A) \\ \end{aligned}

Mais il me semble que cette démonstration n'est pas rigoureuse, car je n'ai pas utilisé l'hypothèse de nilpotence de A.. (Ou peut-être sans le savoir)

Posté par
carpediemre : Matrice nilpotente 10-03-24 à 17:16

salut

si quand tu te débarrasses de o(x^{n - 1}) (avant dernière implication)

et si A est nilpotente alors il existe un entier p tel que A^p = O $ et $ A^{p - 1} \ne O et tu sais même que p \le n = \dim (M_n(K))

et tu ne détailles pas suffisamment cette avant dernière implication

Posté par
matheux14re : Matrice nilpotente 10-03-24 à 20:29

(P(x))^2 = 1 + x + o(x^{n - 1}) \Longrightarrow [P(A)]^2 = I_n + A + o\left(A^{n - 1}\right)

A est nilpotente donc il existe un entier p tel que A^p = O, et A^{n-1} = A^{p-1}A^{n-p} = A^{p-1}O = O (car p \le n = \dim (M_n(K)))

On peut donc se débarrasser du o(A^{n - 1}).

Posté par
carpediemre : Matrice nilpotente 10-03-24 à 21:12

le "o d'une matrice" n'a pas de sens : il faut récrire cela mieux et détailler plus finement cela, en particulier si p = n

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Matrice nilpotente 10-03-24 à 21:32

Bonsoir

Si on note f:x\mapsto\sqrt{1+x}, on a \Large\boxed{P(x)=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{(-1)^{k-1}C_{2k}^k}{(2k-1)4^k}x^k}

d'où en particulier P est de degré n-1 et donc P^2 est de degré 2n-2

et comme on a (P(x))^2 =_0 1 + x + o(x^{n - 1}) on conclut que \Large\boxed{P^2(x)=1+x+\sum_{k=n}^{2n-2}a_kx^k}

d'où \Large\boxed{P^2(A)=A+I_n+\sum_{k=n}^{2n-2}a_kA^k} ... sauf erreur de ma part bien entendu

Posté par
matheux14re : Matrice nilpotente 10-03-24 à 21:34

(P(x))^2 = 1 + x + o(x^{n - 1}) \Longrightarrow [P(A)]^2 = I_n + A + \tilde{A_{n-1}} avec  \tilde{A_{n-1}} \sim A^{n - 1}

A^{n-1} = A^{p-1}A^{n-p} = A^{p-1}O = O si n = p

Posté par
matheux14re : Matrice nilpotente 10-03-24 à 21:41

Merci beaucoup.

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Matrice nilpotente 10-03-24 à 23:48

C'est un plaisir matheux14


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !