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Matrice nilpotente

Posté par
Albert235 25-05-24 à 12:23

Bonjour,
On me donne une matrice réelle nilpotente de taille n telle que A^n = 0 et A^{n-1} \neq 0.
1. On me demande d'abord de donner une matrice T, la plus simple possible telle que A soit semblable à T.
2. Ensuite, on introduit B, une matrice d'ordre n réelle commutant avec A. Je dois montrer que B est un polynôme en A.

Pour la première question je n'ai pas eu de soucis, toutefois, je ne sais pas comment aborder la seconde.
Merci de votre aide

Posté par
GBZMre : Matrice nilpotente 26-05-24 à 10:51

Bonjour,
Comme tu as résolu la première question, tu dois voir qu'il existe un vecteur \large u tel que \large (u,Au,A^2u,\ldots,A^{n-1}u) soit une base de l'espace \large K^n. Donc \large Bu peut se décomposer dans cette base comme \large b_0u+b_1Au+\cdots b_{n-1}A^{n-1}u.
Vois-tu comment utiliser cela pour conclure ?

Posté par
Albert235re : Matrice nilpotente 26-05-24 à 15:23

Bonjour et merci de votre réponse,
J'aurais écrit, (u, Au, ... , A^{n-1}u) base de \mathbb{R}^n donc,
\forall x \in \mathbb{R}^n, x=\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}x_kA^ku

D'où,
\forall x\in\mathbb{R}^n, Bx= \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}x_kBA^ku = \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}x_kA^kBu =\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}x_kA^k\displaystyle\sum_{i=0}^{n-1}b_iA^iu en reprenant tes notations et car A et B commutent
Ainsi,
\forall x\in\mathbb{R}^n, Bx=\displaystyle\sum_{i=0}^{n-1}b_iA^i\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}x_kA^ku=\displaystyle\sum_{i=0}^{n-1}b_iA^ix
Dès lors, Bx s'exprime en fonction des A^ix pour tout x\in\mathbb{R}^n donc B est un polynôme en A
Mon raisonnement est-il correct ?

Posté par
GBZMre : Matrice nilpotente 26-05-24 à 15:57

L'idée est comprise, mais ta dernière phrase est imprécise ("s'exprime en fonction de ...").
Tu pourrais alléger l'écriture en posant
\large P=\sum_{i=0}^{n-1}a_i X^i,
de sorte que \large Bu = P(A)(u). Tu dois alors conclure que pour tout \large v\in \mathbb R^n, \large Bv = P(A)(v), ce qui est une formulation précise.

Posté par
Albert235re : Matrice nilpotente 26-05-24 à 16:03

D'accord, merci bien !

Posté par
GBZMre : Matrice nilpotente 26-05-24 à 17:13

Avec plaisir.


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