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matrice orthogonale en dimension 4
bonjour
soit la matrice A d'un endormorphisme f de R4 dans la base canonique
je dois montrer que A est orthogonale (facile) mais apres calculer une base orthonormée de R4 dans laquelle la matrice de f a une forme réduite.
quelle est la démarche ? calculer le polynôme caractéristique ?ca a l'air assez embêtant...ya une méthode générale ? des cas particuliers ?
merci
Bonjour, downfall.
Je précise d'abord que je ne suis pas compétent et qu'il y a peut-être des méthodes que je ne connais pas pour traiter cet exercice.
En faisant calculer le polynôme caractéristique par Maple, j'obtiens:
det(A-xI)= (x^2+1)(x^2-8x/5+1)
Cela me permet d'affirmer qu'il existe une base orthonormale dans laquelle la matrice de f est:
Pour déterminer cette base:
On prend e1 dans le noyau de (f^2+Id), puis e2=f(e1).
On prend ensuite e3 dans l'orthogonal de Vect(e1,e2), puis e4=3/5(Ae3-4/5e3)
On trouve e1=(1/2,1/2,1/2,1/2) e2=(-1/2,-1/2,1/2,1/2)
Puis e3=(1/2,-1/2,-1/2,1/2) e4=(1/2,-1/2,1/2,-1/2)
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