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Matrice puissance n

Posté par
Scaramouche 27-05-11 à 02:08

Bonjour,


J'ai donc la matrice suivante

0 1 1
1 0 1
0 1 1

Je dois montrer que pour tout n entier naturel j'ai An = A + Id

J'ai calculé les premières puissances de A et j'obtiens

A2 = A + 2Id
A3 = 3A + 2Id
A4 =5A + 6Id
A5 = 11A + 10Id

Je dois donc déterminé Alpha et Béta, j'imagine qu'ils se calculent en fonction de n mais je ne parvient pas à trouver un terme général. existe t-il une méthode pour ce type d'exercice ? Merci.

Posté par
azaleere : Matrice puissance n 27-05-11 à 08:25

bonjour Scaramouche

Ton énoncé est-il correct ?
je trouve
A^2=\begin{pmatrix}1 & 1 & 2\\0&2&2\\1&1&2\end{pmatrix} qui ne me semble pas de la forme A+Id

Une fois que tu as A², tu fais un raisonnement par récurrence ; l'énoncé ne précise pas s'il faut déterminer et ou seulement dire qu'ils existent

si An=nA+nId,
alorsAn+1=(nA+nId)xA=nA²+nA
Tu remplaces A² puis tu obtiens par identification n+1=... et n+1=...

Si tu dois les déterminer, il faudra sans doute faire une étude de suites


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