Bonjour,
Voici ce sur quoi je bloque depuis 1 semaine :

Soit M dans Mn(K) une matrice triangulaire supérieure. En notant (E1, … , E𝑛) la base canonique de ℳ𝑛,1(𝐊), montrer par récurrence que pour tout 𝑘 ∈ [1,n] et tout 𝑖 ⩽ 𝑘, on a M^𝑘E𝑖 = 0.

Je fais donc une récurrence sur k
J'ai l'initialisation facilement
Pour l'hérédité :
Pk : " Soit k∈ [1,n] tq pour tout  𝑖 ⩽ 𝑘, on a M𝑘E𝑖 = 0."
On veut montrer Pk+1 : " au rang k+1 (est ce que k doit être compris entre 1 et (n-1) ?) on a pour tout  𝑖 ⩽ 𝑘+1,  M^(𝑘+1)E𝑖 = 0."

Je suis embêtée par le fait de faire une récurrence sur un intervalle et non sur N. Est-ce même correct comme raisonnement?
Est ce que ma propriété au rang k+1 est correcte ?

De plus, il m'est facile de montrer Pk+1 pour i<k+1 avec l'hypothèse de récurrence, mais je ne trouve pas comment montrer pour i=k+1.

J'ai bien remarqué que le produit était nul, parce que chaque fois que l'on élève à une puissance supérieure, le triangle diminue d'une ligne et d'une colonne dans la matrice, mais je ne vois pas comment l'expliquer.

Merci d'avance pour votre réponse.