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Matrice unitaire

Posté par
fusionfroide 02-11-07 à 23:10

Re salut

Soit 4$Q \in \mathbb{M}_n(\mathbb{C}) une matrice unitaire.

1) Montrer que 4$||Qx||_2=||x||_2 pour tout 4$x \in \mathbb{C}^n

2) Montrer que 4$||QA||_2=||AQ||_2=||A||_2 pour tout 4$A \in \mathbb{M}_n(\mathbb{C})

Mes réponses :

1) Soit 4$x \in \mathbb{C}

4$||Qx||^2=(Qx|Qx)=(x|Q^*Qx)=(x|x)=||x||^2 donc...

2) Soit 4$A \in \mathbb{M}_n(\mathbb{C})

Je vais montrer que 4$||QA||_2=||A_2||

4$||QA||_2=\max_{||x||_2=1} ||(QA)x||_2

Or 4$||(QA)x||_2^2=||Q(Ax)||_2^2=(Q(Ax)|Q(Ax))=(Ax)^*Q^*Q(Ax)=x^*A^*Ax=(Ax|Ax)=||Ax||_2^2

Donc...

Maintenant j'essaie de montrer que 4$||AQ||_2=||A||_2

Mais j'arrive à : 4$||A(Qx)||_2^2=x^*Q^*A^*AQx


Donc là je n'arrive plus à avancer !

Merci pour votre aider

Posté par
ottore : Matrice unitaire 02-11-07 à 23:27

Salut,
pour 1 et 2 ok.

Pour ta 3ème égalité, je ne procéderais pas du tout ainsi:

La norme de AQ est égale au sup des valeurs prises par A.Qx lorsque Qx est de norme 1.
Puisque Q est de norme 1 est bijective d'inverse Q* (si c'est bien ce que j'ai compris), le résultat en découle trivialement.

Sauf erreur.

a+

Posté par
fusionfroidere : Matrice unitaire 02-11-07 à 23:31

Salut otto !

Donc on a :


4$||AQ||_2=\sup_{||Qx||=1}||A(Qx)||_2

Citation :
Puisque Q est de norme 1 est bijective d'inverse Q*


D'accord !

Mais je ne vois pas comment tu fais intervenir l'inverse de Q ?

Merci

Posté par
ottore : Matrice unitaire 02-11-07 à 23:35

Salut,
en fait j'ai répondu rapidement, je ne sais pas si on a réellement besoin de la bijectivité de Q, l'idée était de dire que le sup est réellement atteint.

Tu es d'accord qu'il existe un certian y tel que |Ay|= ||A|| puisque le sup est un max parce que la boule unité dans C^n est compacte et que la multiplication par une matrice est une opération continue.

Maintenant on veut construire y à l'aide de Qx, c'est à dire que l'on veut que Qx=y pour un certain x.

Quel x ?
Q*.y puisque Q*Qx=1.x=x=Q*.y

Sauf erreur.

a+
Tu vois, finalement on s'est quand même servi de la bijectivité de Q, même si la surjectivité suffisait (mais c'est équivalent de toute façon )

Posté par
fusionfroidere : Matrice unitaire 02-11-07 à 23:37

Ok très bien c'est très clair !!

Merci otto

Posté par
ottore : Matrice unitaire 02-11-07 à 23:38

Fait plaisir.
a+


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