bonsoir,


je viens de voir un beau petit exercice.


Enoncé :

soit telle que :



montrer que


je veux une indication et merci d'avance.


Axxx;@+

BONSOIR

Utilise les E_j,k

bonsoir,


pouvez vous développez encore plus ?

Puisque, pour tout dans , l'on doit avoir , alors pour inversible et qui commute avec , l'on a également . Ce faisant, l'on a . L'identité résulte donc de ce que est inversible.

A +

Non, c'est faux. L'on peut prendre telle que et pourtant . Donc, je n'ai réussi qu'à prouver que , et non .

A +

C'est beaucoup plus simple que je ne l'imaginais. Comme l'indique Kybjm, l'identité est a fortiori vérifiée pour toutes les matrices élémentaires de , de sorte, qu'au final, l'on trouve le résultat voulu.

A +

En effet, pour et quelconques dans , soit la matrice carrée d'ordre dont tous les coefficients sont égaux à , sauf celui situé à la -ème ligne et la -ème colonne, lequel est égal à . Posons . Il est alors clair que , de sorte que . Par conséquent, , soit . D'où le résultat attendu.

Attention : Je veux faire vite et je rédige n'importe quoi. Il ne faut pas tenir compte des calculs ; ils sont faux.

Toutes mes excuses.

Enfin, l'idée y est.

A +

Posons et . Sauf encore erreur de ma part, l'on déduit de que , pour tout . Prenant en particulier , l'on trouve , soit .

A +

On prend n dans * . Pour toute U dans M_n(K) et tout (j,k) dans {1,...,n}² je noterai U(p,q) l'élément de la matrice U situé au croisement de sa ligne p et de sa colonne q  .
Avec la notation de Kronecker ((x,y) = 1 si x = y et 0 sinon) on a donc : Pour tout (j,k,p,q) {1,...,n}⁴  E_j,k(p,q) = (j,p)(k,q)
Soit alors A dans M_n(K) telle que pour toute X de M_n(K) on ait (XA)² = 0 .
Si (j,k,p,q) {1,...,n}⁴ on a donc :
0 = (E_j,kA)²(p,q) = _x (E_j,kA)(p,x).(E_j,kA)(x,q) = _x,y,z E_j,k(p,y).A(y,x).E_j,k(x,z).A(z,q) = _x,y,z (j,p)(k,y)A(y,x)(j,x)(k,z)A(z,q) = (j,p).A(k,j).A(k,q) .

Pour tout (k,p,q) tu as donc A(k,p)A(k,q) = 0 et donc
pour tout (k,p) on a : A(k,p)² = 0 ce qui prouve que A = 0.