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Matrices
Bonjour à tous,
J'ai encore un exercice sur les matrices que je n'arrive pas à faire...
Le voici:
Soient A et B deux matrices carrées d'ordre 4 définies par leurs coefficients: ai,j=1 si i+j est pair, 0 sinon ; bi,j=1-ai,j
E={M
,
=.A+.B tel que (,)
2}
1°)Montrer que E est un sous-espace vectoriel de M4() dont on donnera une base.
2°)Soit M,=.A+.B fixée, montrer qu'il existe deux réels x et y tels que M3=x.M2+y.M
3°)E est-il un sous-espace vectoriel de M4()?
4°)E est-il un sous-anneau de M4()?
Pouvez-vous m'aider s'il vous plaît?
Merci d'avance.
Bonjour
Pour 1) c'est purement mécanique; vérifie que E est stable par combinaison linéaire. Ensuite, tu montres que A et B sont linéairement indépendantes, donc elles forment une base de E.
Pour 2) il faut faire les calculs de A2,B2,AB et BA.
Où est la différence entre 3) et 1)?
Enfin, comme les cubes sont combinaisons linéaires de M et M2, ça a l'air d'être stable par multiplication (à toi de faire les calculs!) Reste à savoir si Id est dans E.
Bonjour.
As-tu écrit A et B ?
1°) Tu remarques que A et B sont linéairement indépendantes (aA + bB = O => a = b = 0).
Par hypothèse, E = vec(A,B) c'est donc un sous espace de M(4,R). Une partie génératrice est (A,B) et comme elle est libre, (A,B) est une base de E.
2°) Je n'ai encore pas abordé la question. On peut déjà dire que A² = 2A, B² = 2A, AB = 2B et BA = 2B.
Je regarde. A plus RR.
Merci beaucoup.
Je n'ai pas beaucoup d'exercices sur les matrices et je ne comprends pas trop l'algèbre linéaire en général...
Bonjour Camélia.
Malheureusement, en dépit de mon courage, je n'ai encore pas trouvé x et y.
Pitchoune2 : pose nous des questions précises, nous tenterons de t'aider.
A plus RR.
Raymond; je ne pas vous poser de questions précises puisque je n'arrive pas à faire l'exercice...
La question 2 je n'arrive pas à la faire.
par contre je ne vois pas trop la différence entre la question 1 et 3 comme camélia l'a fait remarquer.
Et la question 4 je n'arrive pas non plus à la faire...
2°) Les calculs de A², B², AB et BA montrent que Mn = (aA + bB)n appartient à E.
Comme Dim(E) = 2, les matrices M, M², M3 sont forcément liées.
Etudions la famille (M,M²).
En posant M = aA + bB, je trouve : M² = 2(a²+b²).A + 4ab.B
Le déterminant de M et M² donne sur la base (A,B) : det(M²,M) = 2b(b² - a²).
Il y a donc plusieurs cas à étudier : b = 0, b = a, b = -a et b différent de 0,a,-a.
Dans le dernier cas, M et M² forment une base de E, donc : M3 = x.M² + y.M.
Par contre, pour les trois premiers cas, il faut faire une étude séparée.
¤ b = 0 => M = a.A => M² = 2a.A => M3 = 4a².A = 0.M² + 4a.M
¤ b = a => M = a.(A + B) => M² = 4a.M => M3 = 16a².M = 0.M² + 16a².M
¤ b = -a ...
A plus RR.
d'accord merci beaucoup j'ai compris cette question mais par contre peut tu m'expliquer la question 3 et 4 stp????
Merci d'avance
3°) La question a déjà été évoquée au 1°), la réponse est : oui E est un sous-espace vectoriel de M(4,R).
4°) La structure de sous-espace induit que (E,+) est un sous-groupe de M(4,R)
Il reste à voir si E est stable pour le produit.
Soient M = aA + bB et M' = a'A + b'B deux éléments de E. Calculons le produit :
MM' = (aA + bB)(a'A + b'B) = aa'A² + ab'AB + a'bBA + bb'B².
Compte tenu des calculs de mon premier topic : A² = B² = 2A et AB = BA = 2B, on trouve :
MM' = 2(aa' + bb')A + 2(ab' + a'b)B qui est bien du type : uA + vB. Donc, MM' € E
Conclusion : E est un sous-anneau de M(4,R)
A plus RR.
D'accord merci beaucoup mais pourrais-tu me réexpliquer pour la question 1 comment il faut faire car je n'ai pas tout compris.
Merci d'avance.
Par définition, E = {a.A + b.B, (a,b)} est le sous-espace engendré par A et B. C'est donc forcément un sous-espace de M(4,R).
Si tu ne veux pas utiliser ce procédé, revois le topic de Camélia :
¤ A et B sont dans E, donc E est non vide.
¤ Si M = aA + bB et M' = a'A + b'B sont deux éléments de E, étudions la combinaison linéaire : uM + u'M'.
uM + u'M' = u(aA + bB) + u'(a'A + b'B) = (ua + u'a')A + (ub + u'b')B : type xA + yB donc appartient à E.
A plus RR.
d'accord merci beaucoup à présent je crois que j'ai tout compris pour cet exercice merci beaucoup de m'avoir aidé. 
Raymond je voudrais savoir si tu sais faire du dénombrement parce que j'ai un exercice que je n'arrive pas à résoudre alors je voudrais savoir si tu pouvais m'aider à le faire stp??
Merci d'avance.
pour le 2°
Dans la base A; B,
M^3= (4a^3+12ab²)A + (12a²b+4b^3)B
M² = 2(a² + b²) A + 4ab B
M = aA + bB
L'existence de x; y tels que M^3 = xM² + y M
equivaut donc à la résolution du système obtenu en considerant les coordonnées dans la base (A; B), càd :
xM² + yM = M^3 
x
2(a² + b²) + ya = 4a^3+12ab²
x4ab + yb = 12a²b+4b^3
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