Bonjour.

I - Soit E un R-espace vectoriel. On dit que les k vecteurs de E : e₁, ... , e_k forment un système générateur de E si tout élément x de E peut s'écrire :
x = a₁.e₁ + ... + a_k.e_k, où les a_i sont des réels.

Tu remarques que c'est le cas dans ton exemple puisque toute matrice carrée d'ordre 2 s'écrit :



Donc, le système :

est générateur de l'espace des matrices carrées d'ordre 2.

II - Un système de k vecteurs de E : e₁, ... , e_k forme un système libre dans E si l'équation :
a₁.e₁ + ... + a_k.e_k = 0 => tous les réels a_i sont nuls.

C'est le cas dans ton exemple :
a₁.E₁ + ... + a₄.E₄ = 0 =>

=>

a₁ = ... = a₄ = 0

A plus RR.

OK j'ai compris pour celle-la, merci beaucoup! mais j'ai une autre question...Comme j'ai vu que toutes mes matrices avait été décalé dans mon 1er post et que je ne sais pas faire de matrices comme vous, je vais maintenant mettre " ; " pour passer à la ligne suivante. Donc :
soit A = [ 0  3  ; 1  2 ]. On définit un opérateur linéaire de l'espace E par : M= [ x z ; y t ] M' = [ x'  z' ; y'  t'] = A.M
J'ai donc trouver que M' = [ 3x  3t  ; x+2y  2t+z ] mais je ne vois pas du tout pourquoi la matrice de dans la base B est F= ( 0 3 0 0 ; 1 2 0 0 ; 0 0 0 3 ; 0 0 1 2 ). Merci encore

J'ai comme l'impression que tu ne fais pas le lien entre les définitions et théorèmes du cours et les exercices.

Voici ce que tu dois avoir dans ton cours.

1°) Le système E₁, E₂, E₃, E₄ étant générateur et libre, il forme une base de l'espace E = M₂(R) des matrices carrées d'ordre 2. Cela signifie que toute matrice M s'écrit d'une manière et d'une seule comme combinaison de ces quatre matrices. Les coefficients de cette combinaison sont les coordonnées de M sur cette base. Ensuite on écrit ces coordonnées en colonne :



Essaie de penser à un repère (O, ) : tout vecteur s'écrit et on note

2°) Pour construire la matrice d'un opérateur linéaire u, il faut mettre en colonnes les images par u des vecteurs de la base. Ici, tu dois donc calculer (E₁), ..., (E₄) puis les écrire au moyen de la base, puis de construire la colonne des coordonnées.

Exemple pour (E₁)

(E₁) = A.E₁ = = E₂.
Donc A.E₁ = 0.E_1 + 1.E_2 + 0.E_3 + 0.E_4 <=>

Je ne développe pas les autres calculs, tu dois trouver :
A.E₂ = =>
A.E₃ = =>
A.E₄ = =>
Enfin, tu ranges côte à côte ces quatre vecteurs colonnes pour former la matrice de :



A plus RR.

merci j'ai compris mais franchement, je n'ai jamais vu ça en cours... je n'ai jamais écrit les mots "système générateur" et " système libre" dans mon cours. Mon professeur nous a donné cette feuille de QCM pour nous entrainer pour le concours donc je suppose que c'est à nous de chercher ce que l'on a pas vu...Aussi, j'ai une autre question : quelle est la démarche à suivre pour savoir si un sous -espace est le sous-espace propre associé à la valeur propre x? En tout cas je vous remercie beaucoup pour ces explications

Je suis très étonné de la démarche que le professeur vous fait suivre. Logiquement si tu prépares un concours dans lequel figurent toutes ces notions, tu as dû, au cours de tes études antérieures, rencontrer les définitions et les théorèmes qui s'y rattachent. Je te conseille vivement de rechercher un cours d'algèbre linéaire pour (re)voir toutes ces notions.

E est un R-espace vectoriel. Soit u un endomorphisme de E (une application linéaire de E vers E).
1°) On dit que le réel est une valeur propre de u s'il existe un vecteur non nul x de E tel que :
u(x) = .x.
Un tel vecteur x s'appelle alors un vecteur propre associé à la valeur propre .

2°) L'ensemble de tous les vecteurs x tels que u(x) = .x (c'est-à-dire le vecteur nul et tous les vecteurs propres associés à ) forment un sous-espace de E appelé le sous-espace propre associé à la valeur propre . Ce sous-espace se note en principe E(u).

Je réponds alors à ta question. F est un sous-espace propre pour u si : il existe un réel tel que, pour tout x dans F, u(x) = .x

J'extrais un exemple de l'exercice précédent.
Considère le sous-espace E' de E formé par les vecteurs X'
Calcule alors : FX' : tu trouveras 3X'. Cela signifie que E' = E₃(): sous-espace propre associé à la valeur propre 3..

A plus RR.

J'ai pas trop compris... Je reprendrais ça demain à tête reposé. Je suis aussi étonné de voir toutes ces questions étant donné que mon professeur m'a dit que je pourrais repondre à toutes les questions du concours si j'avais acquis les notions de terminale... Etant donné que je n'avais aucune difficulté l'année dernière je ne pensais pas autant avoir de mal cette année... en tout cas je vous remercie beaucoup pour toutes ces explications et pour le temps que vous m'avez accordé! Je risque d'avoir encore beaucoup de questions dans les jours et semaines à venir. J'espère que vous serez toujours là pour me répondre bonne soirée et encore merci

Bonjour à tous, il y a une nouvelle question que je ne comprends pas: pourquoi ^{[/sup]2 - 2 - 3id = o - 2 - 3id = Ô, avec id opérateur identitéé et Ô l'opérateur linéaire toujours nul? Est ce que pour tout opérateur linéaire o = [sup]}2 ???
Merci

apparement je ne sais pas utiliser les puissances donc l'équation est : ^2 - 2 - 3 id = o - 2- 3id= Ô

Bonjour.

Lorsque tu poses de nouvelles questions, il est indispensable que tu ouvres un nouveau topic. Sinon, tu vas avoir des problèmes avec les webmasters.

1°) C'est une notation pour tout endomorphisme f, on pose fof = f²

A plus RR.

Je sais qu'on ne doit pas poster 2 exercices dans le même topic mais là je pensais que c'était plusieurs questions dans un seul exercice... je ne pensais pas devoir ouvrir un autre topic et réexpliquer l'énoncé... et désolé d'être embetant mais le fait que fof = f^2 ne m'explique pas pourquoi l'équation précédente = Ô. J'ai fait le calcul avec le produit des matrices x puis j'ai soustrais les 2 autres termes et au final je suis loin de tomber sur la matrice [ x z ; y t ]. Sinon merci pour l'explication précédente

Bonjour
Si tu nous donnais la matrice en question et tes calculs, on pourrait voir où est le problème (peut-être une bête erreur de calcul ?)

Bonjour lafol.

tiroux : lorsque tu écris f² - 2f - 3id = O, ce n'est vrai que pour certains endomorphismes. C'est une équation.
Par exemple, lorsque tu écris x² - 2x - 3 = 0 dans R, ce n'est pas vrai pour tous les réels, mais seulement pour les "racines" du polynôme.

A plus RR.

Bonjour lafol
Voila l'énoncé en question :
A= [ 0  3  ; 1  2 ]. On définit un opérateur linéaire de l'espace E par : M= [ x z ; y t ] M' = [ x'  z' ; y'  t'] = A.M
J'ai donc trouver que M' = [ 3x  3t  ; x+2y  2t+z ] et donc en multipliant M' x M', on obtient une matrice avec des x^2, y^2 etc et je ne vois pas comment on peut retrouver la matrice M au final....
Merci

oui mais je parlais toujours du même endomorphisme que précedemment... Et dans le cas particulier de cette endomorphisme défini dans mon post ci-dessus je ne comprends pas pourqoui l'équation f² - 2f - 3id = O est vérifié... Je m'exprime peut être mal je suis désolé les termes endomorphismes, opérateur linéaire, etc sont nouveaux pour moi je les emploie peut être mal... Merci pour votre aide

Alors la matrice à utiliser est celle que Raymond (que je salue ) t'a donnée à 16:01 hier ...
Tu dois vérifier que F²-2F-3I₄=0₄

Je t'ai donné plus haut la matrice F de . Je ne la recopie pas.
Je viens de faire le calcul : F² - 2F - 3I et je trouve bien O.

A plus RR.

Ah d'accord, il faut prendre la matrice de dans la base B, c'est à dire F...mais qu'est ce que c'est la matrice[ 3x  3t  ; x+2y  2t+z ] si la matrice de est F? J'ai vraiment de grosse lacunes concernant toute cette partie du cours, avez vous un site à me conseiller pour apprendre les bases ? en tout cas merci pour tout!