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matrices
Bonjour, j'ai quelques problémes sur l'exercice suivant:
Soit M (a b
1-a 1-b) avec 0<a<1 et 0<b<1
Soit A= -M+(a-b)I
B= M-I
1) Vérifier que AB=BA=0. Cette question est faite
Montrer que pour n
* An s'exprime en fonction de A et Bn s'exprime en fonction de B.
Alors j'ai fait A+B= -M+(a-b)I + M-I donc A=(a-b-1)I-B et j'utilise la formule du Binome pour avoir An mais dans la somme j'ai ((a-b-1)I)n-k - Bk et je sais pas quoi en faire et aboutir à démontrer que c'est en fonction de A?
Merci
Bonjour,
Un calcul direct donne :
B² = (a-b) B
Tu dois pouvoir en déduire Bn
Même principe pour A
Cordialement
Frenicle
Bonjour.
Je trouve personnellement que :
B² = (a-b-1)B
On en déduit par une petite récurrence que :
Pour n > 1, Bn = (a-b-1)n-1.B (I)
Cela étant, nous avons : A + B = (a-b-1).I.
Comme AB = BA = 0, on applique la formule du binôme de Newton :
(A + B)n = An + Bn = (a-b-1)n.I
Compte tenu de (I) :
An = (a-b-1)nI - (a-b-1)n-1B
= (a-b-1)n-1[(a-b-1)I - B] = (a-b-1)n-1.A
Pour n > 1, An = (a-b-1)n-1.A
On pouvait aussi attaquer directement par le calcul de An.
A plus RR.
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