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Matrices
bonjour à vous tous, comment puis je calculer les valeurs propres de f sachant que f est un endomorphisme qu a toute matrice carree A d ordre n associe Transposee A ?
je ne sais pas comment m y prendre parce que je ne connais rien de A
Bonjour.
Appelons Mn l'ensemble de toutes les matrices, Sn l'ensemble de celles qui sont symétriques, An l'ensemble de celles qui sont antisymétriques.
Tu sais que
Appelons t : Mn ---> Mn défini par t(M) = tM
Calcule alors t(A), A € An et t(S), S € Sn
A plus RR.
je suis d accord pour ta decomposition,
comme S est symetrique, t(S)=S dc 1 est valeur propre, c est ca?
par contre qu est ce que ca veut dire S antisymetrique? c est transposee (S)=-S ???
Tu as trouvé pratiquement tout ce qu'il faut :
t(S) = S. Comme dans Sn, il y a au moins une matrice non nulle, (I par exemple), alors 1 est valeur propre et le sous-espace propre associé est Sn.
t(A) = - A. Pour n > 1, il existe dans An des matrices non nulles, cela signifie que - 1 est valeur propre et le sous-espce propre associé est An.
Comme la somme de ces deux sous-espaces est Mn, il ne peut pas y avoir d'autre valeur propre.
Sp(t) = {-1 ; 1}
Tu peux remarquer que dim (Sn) = et dim(An) =
te donnent les multiplicités de ces deux valeurs propres.
Connais-tu la technique du polynôme minimal ?
Ici, t² = tot = Id. Donc le polynôme minimal de t est X² - 1. Donc Sp(t) = {-1 ; 1}
A plus RR.
ok j ai comprsi avec cette methode. mais je n etais pas sure sur "anti symetrique"
par contre, comment tu fais pour trouver le polynome minimal sinon?
en tout cas merci bien déjà!
Tu sais que si tu transposes deux fois de suite tu reviens au point de départ, donc t² = Id.
Tu peux écrire : t² - Id = O ou (t - Id)o(t + Id) = O
Comme t est égal ni à Id, ni à - Id, le plus petit polynôme annulé par t est X² - 1.
A plus RR.
ok, en effet c est assez direct de cette facon la!!! vu que l on a 1 et -1 comme valeurs propres, alors on peu t focement dire que t es diagonalisable, quelque soit n, parce que ces valeurs proprs sont scindées, non?
Plus exactement scindé à racines simples est indispensable pour diagonaliser.
D'ailleurs ici, en prenant une base de vecteurs propres tu aurais la matrice diagonalisée de t qui aurait pour forme :
A plus RR.
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