un endomorphisme f

Bonjour.

E un K-ev de dimension n > 0, u un endomorphisme de E. On sait que pour représenter matriciellement u, on choisit une base B de E.

Posons A = Mat(u,B)

Si maintenant on choisit une autre base B', on aura A' = Mat(u,B') et si l'on désigne par P la matrice de passage de B à B', cela donne :

A' = P^-1.A.P

Enfin, tr(A') = tr(P^-1.A.P) = tr(A.P.P^-1) = tr(A).

Conclusion : la trace ne dépend pas de la base. On peut donc l'appeler tr(u).

k merci beaucoup

j'ai une autre question, je n'arive pas à montrer que si on a un projecteur p, on a: rg(p)=tr(p)

je sais juste que Ker(p)+Im(p)=Erg(p)=E-Ker(p), on pourait montrer que tr(p)=E-Ker(p), mais je ne sais pas comment faire et p est un projecteur, donc pas une matrice, je ne sais pas a quoi est égale tr(p)?

Pouvez vous m'aidez, s'il vous plaît?

personne?

par définition un projecteur projette

rg(p) = dim Im(p)
et p admet une base composée d'une base de im(p) et d'une base de ker(p)

et si x im(p) alors p(x)=x

écrit la matrice de p dans cette base et calcule sa trace

Je sais un peu près quelle forme elle aura maisje n'arrive pas à l'écrire correctement, pouvez m'éclairez d'avantage?

on va voir quelque soit la base de E une matrice avec p(x)=0 et p(x)=x, mais comment l'écrire correctement?

im p et ker p sont supplémentaires donc une base de E peut êtr constituée  d'une base de chacun d'eux
la matrice de p dans im p est l'identité et la matrice de p dans ker p est 0
et la matrice de p dans E est une matrice diagonale constituée de ces deux sous matrices
donc tr p = 1 + 1 + 1... =dim im p