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MAtrices
Salut à tous j'ai un Dm à faire et je n'aarive pas à faire 2 questions pouvez vous m'aidez, merci d'avance.
Soient A 
M2(|K) (avec |K=|R ou |K=
) et u l'endomorphisme de |K2 canoniquement associé à A. On note (e1,e2) la base canonique de |K2.
1)J'ai montrer que PA(X)=X2-tr(A)X+det(A)=X2-(a+d)X+ad-bc pour une matrice A:
[a b]
[c d]
et j'ai aussi montrer que PA(A)=0
2) Je n'arrive pas à montrer en procédons par double implication que soit 
|K. montrer qu'il existe e|K2 non nul telque u(e)= e si et seulement si PA()=0.
3) on suppose que PA admet dans |K deux racines distinctes et 
. il existe donc (f1,f2)|K2 non nuls tels que u(f1)=f1 et u(f2)=f2
Je n'arrive pas à montrer que (f1,f2) est une famille libre.
J'ai:
(',')|K2, 'f1+'f2=0
(après avoir composé par l'endomorphisme u et sachant 
)'f1+'f2=0.
Pouvez vous m'aidez merci d'avance.
Salut
Au fait s'appelle le polynôme d caractéristique
d'abord,, montre que
on revient à la question 2 :
on suppose qu'il existe un vecteur e non nul tel que u(e)=ae (je vais noter a au lieu de lambda) <=> il existe e non nul tel que u(e)-ae=0 <=> il existe e non nul tel que (u-aId)(e)=0 <=> <=> u-aId non injectif <=>
non inversible <=>
<=>
si j'utilise l'équation, j'obtient toute sorte de résultat: (-tr(A))=(-tr(A)) ou encore (-)(+-tr(A))
Mais je suis toujours bloqué au même point.
RE(Salut)
Raisonnons par absurde:
supposons que la famille est liée: donc il existe a non nul tel que
on a
D'autre part :
donc
Or, est non nul, puis
et
sont distincts : ABSURDE
Donc: la famille est libre.
une dernière question, une matrice ne peut s'écrire que dans une base,non? et ici est-ce qu'on peut montrer que (f1,f2) est une base, car je ne sais pas si je me trompe, mais dim(M2(|K))=4card(f1,f2)=2(non?)
f est défini sur IK², donc tu es en dimension 2 ! on compte le nombre de colonnes de ta matrice. étant libre et de cardinal 2 c'est une base.
Pour ton dernier poste je pense que t'as fait une faute non? ça dois être
Tu peux montrer facilement que B est semblable à A en utilisant la formule de changement de base. 
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