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Matrices
Salut juste que j'arrive vraiment pas à faire cet exercice chaque fois que je commence je me melange. SVP veuillez m'apporter un petit coups de main:
Soit (-3 1 0)
A (0 2 1)
(0 0 1)
1° Calculons An, n 
2° Calculer Sn=
nk=0 Ak, n € .
Merci pour votre compréhension.
veuillez m'apporter un petit coups de main
je m'exécute :p
salut ya plein de manière de calculer les puissances d'une matrice,tu peux par exemple;
-chercher une base dans laquelle les puissances seraient facile à calculer (typiquement la diagonaliser,si elle est diagonalisable)
-chercher un polynôme annulateur et trouver le reste de la division euclidienne de Xn par ce polynôme.(Si tu n'en trouves pas d'évident le théoreme de Caley-hamilton assure que le polynôme caractéristique est annulateur)
-ya plein d'autres trucs renseigne toi
La seule methode qui me semble viable ici est la première.
As-tu entendu parler de vecteur propre et de valeur propre?
bonsoir
une rapide intervention pour rappeler que la diagonalisation de matrices, cayley hamilton etc... est du niveau de spé et pas de sup!( niveau du topic)
apres essai de méthodes de sup je n'arrive à rien non plus, il y a peut etre une erreur dans la matrice donnée ou alors je suis passé à coté de quelques choses (option fort probable 
)
as tu brievement entendu parler du polynome annulateur?
ici il sera de degré au plus 3 (peut etre deux je ne suis pas sur à 100%)
tu peux le trouver facilement avec des coefs indéterminés a,b,c,d tels que
Tu peux aussi écrire A comme somme d'une matrice diagonale et d'une matrice trigonale supérieur strictement. A^n=(B+C)^n
Tu appliques la formule du binôme de Newton en remarquant que C est nilpotente de degré 2. Il te restera alors trois termes dans ta somme que tu peux calculer
Bonne chance !
Je ne vois pas de solution plus facile que celle d Axel24.
A noter que cette technique marche toujours quand on a à faire à une matrice triangulaire.
cette technique marche toujours quand on a une matrice triangulaire dont les coefficients diagonaux sont les mêmes, par contre. (Pour essayer de reprendre ce que j'ai sottement écrit
)
Je détaille un peu la méthode à suivre avec le polynôme annulateur mais les calculs sont très pénibles à faire avec cette matrice ...
1) Tu peux trouver le polynôme annulateur P(X) en exprimant A3 en fonction de A et I3 puis tu le factorises.
Tu exprimes la division euclidienne de Xn par P(X) : Xn=P(X).Qn(X)+Rn(X) où Rn(X)=anX2+bnX+cn (de degré au plus 2). Tu peux trouver l'expression de Rn(X) en substituant à X les valeurs des racines de P et en résolvant un système 3x3.
Comme on sait que P(A)=0, tu auras An=P(A).Qn(A)+Rn(A)=Rn(A), c'est-à-dire An en fonction de A2, A et I3.
2) Tu as : ,
. Chaque somme se calcule avec des sommes de termes de suites géométriques.
Bonjour,
je suis tout à fait d'accord avec jeanseb, dans la première réponse sur ce sujet.
Tu peux commencer par calculer A² et puis A^3, puis remarque bien un lien entre eux.
Tu vas trouver(comme moi) un point de généralisation.
pour la deuxième question, il faut avoir recours à la première question et la relation entre chaque A^k.
Maroc
Axxx,@+
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