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Matrices

Posté par
MisterH 20-12-11 à 18:47

Bonjour, j'aurai besoin d'aide pour ce DM,

1) Posons M2()= \begin{pmatrix}a  c\\b  d\end{pmatrix}/(a,b,c,d)^4.
L'addition est définit par : \begin{pmatrix}a  c\\b  d\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}a'  c'\\b'  d'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a+a'  c+c'\\b+b'  d+d'\end{pmatrix}.
La multiplication : \begin{pmatrix}a  c\\b  d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a'  c'\\b'  d'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}aa'+cb'  ac'+cd'\\ba'+db'  bc'+dd'\end{pmatrix}

-Montrer que (M2(),+,x) est un anneau.
Je dois donc d'abord montrer que (M2(),+) est un groupe abélien. Comment faire?
- Quelle est la structure de (M2(),+,x)?

Merci d'avance

Posté par
DHilbertre : Matrices 20-12-11 à 19:05

Quels sont les axiomes d'un groupe commutatif ? Ceux d'un anneau (autres que les axiomes du groupe additif) ?

A +

Posté par
DHilbertre : Matrices 20-12-11 à 19:08

Oh ! Il faut au préalable vérifier que les opérations introduites dans ton exo sont des lois internes sur \mathcal{M}_2(\R). Ici, c'est immédiat, pourquoi ?

A +

Posté par
MisterHre : Matrices 20-12-11 à 19:12

Pour le groupe abélien, il faut que je montre l'associativité, la commutativité, qu'il y a un élément neutre et que tout élément admet un symétrique. Ne maîtrisant pas vraiment le chapitre, je n'ai pas les réflexes pour le montrer..

Posté par
DHilbertre : Matrices 20-12-11 à 19:29

Oh que si, tu les as.

Pour le neutre : Pour tous a, b, c et d dans \R, l'on a, par définition de la loi interne sur \mathcal{M}_2(\R)

\begin{pmatrix}a & c\\b & d\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0 & 0\\0 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a+0 & c+0\\b+0 & d+0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a & c\\b & d\end{pmatrix}

Je te laisse effectuer les calculs dans l'autre sens. D'ailleurs, je te conseille de vérifier la commutativité en premier.

A +

Posté par
DHilbertre : Matrices 20-12-11 à 19:44

Pour le symétrique : Pour tous a, b, c et d dans \R, l'on a, encore par définition de la loi interne sur \matcal{M}_2(\R) :

\begin{pmatrix}a & c\\b & d\\\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-a & -c\\-b & -d\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a+(-a) & c+(-c)\\b+(-b) & d+(-d)\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 0\\0 & 0\\\end{pmatrix}

A toi de calculer :

\begin{pmatrix}-a & -c\\-b & -d\\\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}a & c\\b & d\\\end{pmatrix}=\cdots

A +

Posté par
DHilbertre : Matrices 20-12-11 à 21:30

Alors, où en es-tu ? Est-ce terminé ?

A +

Posté par
MisterHre : Matrices 21-12-11 à 11:55

Oui c'est ok! Pour justifier que ce sont des lois de compositions internes, il faut juste dire qu'on est sur ? Et l'associativité on la justifie comment?


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