Salut.
Ici il est évident que dim ker M = multiciplicité de 0.
Pour la b, tu peux te servir du polynôme que tu as trouvé.
Idem pour la C.
A+

le polynome que j'ai n'est pas scindé a racine simple donc si je veux montrer M diagonalisable c'est pourtant ca qu'il faut je crois. Je pensais dc chercher le polynome minimal qui est de la forme avec deg Q inferieur ou egal a 2, c'est bien ca qu'il faut faire svp?

Tout dépend ce que tu appelles K! Dans C, X(X²+1)=X(X-i)(X+i) donc M est diagonalisable dans C (dans tout corps qui contient une racine de -1 en fait), mais pas dans R sinon i est dans R. Vu la question suivante je pense que tu dois travailler dans R...

Comme ta matrice est diagonalisable dans C, elle est semblable à une diagonale de 0,i et -i. On sait qu'il y a n 0. Pour savoir qu'il y a n i et n -i, on doit forcément dire que comme la matrice est réelle sa trace est réelle donc il y a autant de i que de -i.

Pour répondre à la dernière question dans R (sans dire que la similitude est une relation invariante par extension de corps), il te faut construire une base de vecteurs dont les n premiers sont dans le noyau (facile), les n suivants sont envoyés sur les n derniers (dans l'ordre) et sont envoyés sur leur opposé par M². Tu peux par exemple prendre une base de la forme Me1 Me2 ... Men M²e1 ... M²en où e1...en sont des vecteurs bien choisis

en fait j'ai mis des K mais dans l'enoncé ce sont des R...
Au final est elle diagonalisable dans M3n(R) ??

non, si elle était diagonalisable les éléments diagonaux vérifieraient x³=-x, et dans R ça implique x=0; donc la matrice serait nulle ce qui contredit l'hypothèse d'un rang =2n