Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Matrices
Bonjour ! J'aurai besoin d'aide pour mon execice qui est le suivant :
(-1 0 0) (1 0 0) (1 0 0)
On considère les matrices A =(8 0 8) , P =(0 1 -1) et Q=(1 1 1).
(9 0 8) (-1 0 1) (1 0 1)
1) Vérifier que les matrices P et Q sont inverses l'une de l'autre. C'est Ok.
2) On définit la matrice B=Q×A×P. Calculer B et exprimer Bn en fonction de n.
(-1 0 0) (-1n 0 0)
J'ai trouvé B =(0 0 0). Est ce que Bn= (0 0 0)?
(0 0 8) (0 0 8n)
3)a) Montrer que pour tout entier naturel n : An=P×Bn×Q.
J'ai fait : B=Q×A×P donc A=P-1×B×Q-1
or P×Q=I avec P-1=Q et Q×P=I avec Q-1=P. Donc A=P×B×Q.
Et là je sais pas comment continuer :$
(-1n 0 0)
3)b) Calculer An pour tout entier naturel n. J'ai trouvé : (8n 0 8n)
(9n 0 8n)
Voilà 
Bonjour, bonne année 2013 :
2) On définit la matrice B=Q×A×P. Calculer B et exprimer Bn en fonction de n.
(-1 0 0) (-1n 0 0)
J'ai trouvé B = (0 0 0). Est ce que Bn = (0 0 0)?
(0 0 8) (0 0 8n)
B est fausse ainsi que Bn (qui est, je présume, le produit de B par le scalaire n)
3)a) Montrer que pour tout entier naturel n : An=P×Bn×Q.
J'ai fait : B=Q×A×P donc A=P-1×B×Q-1
or P×Q=I avec P-1=Q et Q×P=I avec Q-1=P. Donc A=P×B×Q.
Et là je sais pas comment continuer :$
Le résultat de ton raisonnement est juste mais attention :
J'ai fait : B=Q×A×P donc A=P-1×B×Q-1
ça c'est faux en revanche :
enfin;
(-1n 0 0)
3)b) Calculer An pour tout entier naturel n. J'ai trouvé : (8n 0 8n)
(9n 0 8n)
là encore, c'est faux.
Bon courage pour tout reprendre :
Mathx96
Bonne année à vous aussi !!
En fait, C'est Bn qu'il faut calculer ! J'ai oublier de mettre le "n" en exposant ...
Pareil pour 3)a), il faut montrer que An= P × Bn × Q. et pour b), il faut que je calcule An...
[quote]ça c'est faux en revanche : B = Q×A×P <=> A = Q-1×B×P-1
C'est parce qu'on divise (on multiplie par P-1) Q×A×P par P en premier et qu'après, on divise (on multiplie par Q-1) Q×A par Q ??
Comment savoir ? Je me trompe tout le temps ...
D'accord, déjà essaye de trouver B (car ce que tu avais marqué était faux).
Ensuite pour calculer il faudra utiliser un raisonnement par récurrence :
En effet, B^n résulte d'un produit de la matrice B par elle-même, et ce n-fois. Il ne suffit
donc pas d'élever les coefficients à la puissance n ! Pour t'en convaincre, essaye de calculer ,
,
...
et conjecture la valeur de B^n en fonction de n. Ensuite, démontre cette conjecture par récurrence !
Conseils : - Pour la démonstration sépare 2 cas : n est pair et n est impair.
- Décompose tes coefficients en produit de facteurs premiers !
ça c'est faux en revanche : B = Q×A×P <=> A = Q-1×B×P-1
C'est parce qu'on divise (on multiplie par P-1) Q×A×P par P en premier et qu'après, on divise (on multiplie par Q-1) Q×A par Q ??
Comment savoir ? Je me trompe tout le temps ...
Quand tu as une égalité entre deux produits de réels ou de complexes :
prenons par exemple
Si on
Pour isoler z je divise par a et par c, ou encore je divise par a\times c car là, la multiplication est commutative,
et je redivise l'autre membre par la même quantité :
Pour les matrices c'est la même chose, mais il ne faut pas modifier l'ordre car le produit matriciel n'est pas commutatif !
Bon courage;
Mathx96
Annuler
connectez vous