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matrices
Enoncé: Une matrice carré d'ordre n est trigonalisable s'il existe une matrice carrée P d'ordre n inversible et une matrice T triangulaire telles que A=PTP^-1.
On considère les matrices A et P ci-dessous. On admet que la matrice P est inversible.
A=[[1,1,1],[-6,0,5],[0,1,2]] et P=[[1,1,1],[-1,5,0],[1,1,1]]
1. A l'aide de la calculatrice, calculer P^-1AP. Quelle est la forme de la matrice obtenue ?
2. Que peut-on en déduire pour la matrice A ? Pour la suite, on posera T = P^-1AP
3. Exprimer A² puis A^3 en fonction de P, T et P^-1.
4. Déterminer l'expression de T^n ( n entier naturel non nul ) en fonction de P , T et P^-1
5. On admet que T^n ( n entier naturel non nul ) a pour expression :
T^n =[[1,6n, 3n(n-1)],[0,1,n],[0,0,1]]
Déterminer les coefficients de A^n en fonction de n.
6. Vérifier les résultats pour n=2
Mes réponses
1. P^-1AP = [[1,6,0],[0,1,1],[0,0,1]]
La forme de la matrice est (3,3)
2. On peut en déduire que la matrice A est de la même forme que la matrice P.
3. PA² = [[-11,1,12],[-25,-7,12],[-17,3,21]]
PA^3 = [[-17,1,18],[17,-13,-36],[-35,4,40]]
TA² = [[-41,-4,32],[-12,1,13],[-6,2,9]]
TA^3 = [[-17,-9,3],[-18,-1,19],[-18,3,22]]
P^-1A² = [[-3,166 , 1,8333 , 6],[-1,833 ,1/6 ,2],[-1,0,1]]
P^-1A^3 = [[-1416 , 2,8333 ,18],[-2,833 , 1/6 , 3],[-1,0,1]]
Et la question 4 je ne sais pas
Enoncé: Une matrice carré d'ordre n est trigonalisable s'il existe une matrice carrée P d'ordre n inversible et une matrice T triangulaire telles que A=PTP^-1.
On considère les matrices A et P ci-dessous. On admet que la matrice P est inversible.
A=[[1,1,1],[-6,0,5],[0,1,2]] et P=[[1,1,1],[-1,5,0],[1,1,1]]
1. A l'aide de la calculatrice, calculer P^-1AP. Quelle est la forme de la matrice obtenue ?
2. Que peut-on en déduire pour la matrice A ? Pour la suite, on posera T = P^-1AP
3. Exprimer A² puis A^3 en fonction de P, T et P^-1.
4. Déterminer l'expression de T^n ( n entier naturel non nul ) en fonction de P , T et P^-1
5. On admet que T^n ( n entier naturel non nul ) a pour expression :
T^n =[[1,6n, 3n(n-1)],[0,1,n],[0,0,1]]
Déterminer les coefficients de A^n en fonction de n.
6. Vérifier les résultats pour n=2
Mes réponses
3. PA² = [[-11,1,12],[-25,-7,12],[-17,3,21]]
PA^3 = [[-17,1,18],[17,-13,-36],[-35,4,40]]
TA² = [[-41,-4,32],[-12,1,13],[-6,2,9]]
TA^3 = [[-17,-9,3],[-18,-1,19],[-18,3,22]]
P^-1A² = [[-3,166 , 1,8333 , 6],[-1,833 ,1/6 ,2],[-1,0,1]]
P^-1A^3 = [[-1416 , 2,8333 ,18],[-2,833 , 1/6 , 3],[-1,0,1]]
Et la question 4 je ne sais pas
J'ai le même exercice à faire mais je suis bloqué
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