Bonjour

Peux-tu mettre les premières puissances de que tu trouves?

Je trouve B^2=
(2 -2 2)
(-2 2 2)
(0 0 4)
Et B^3=
(-4 4 -4)
(4 -4 -4)
( 0 0 -8)
J'en ai déduit B^k=(-2)^k-1B

Exprime en fonction de et . Ca te donnera un début de récurrence, et surtout, ça te dira pourquoi est inversible.

Si j'écris A³=AxA²xI ça me permet de dire que A est inversible car on a A^m+n=A^mn mais je ne pense pas que ce soit la réponse attendue! En tout cas j'ai déjà réussi la 2eme question grace a vous! Merci beaucoup! ^^

Bonjour,
ce n'est surement pas la réponse attendue pour 2 raisons
1- tu n'as aucune idée de pourquoi ça permet de conclure (parce que tu ne sais pas si c'est la réponse attendue)
2- je ne vois absolument pas en quoi ça permet de conclure

Ta matrice A sera inversible ssi pour un n quelconque tu peux l'exprimer de la façon suivante
A^n= uA^2 + vA + wI

avec w non nul et u,v,w qui dépendent éventuellement de n.

Le but de l'exercice est de te faire calculer u,v, et w et de te faire remarquer que ce que je dis est vrai.

Il te faut calculer B ⁿ pour tout n 1
Calcule B ² tu vas voir que B ² = - 2 B donc par récurrence tu obtiens B ⁿ
Ensuite, A = B + 3 I
tu appliques la formule du binôme pour avoir A ⁿ, tu vas obtenir un résultat de la forme A ⁿ = 3 ⁿ I + (q + q ² + ... + q ⁿ) B
Tu calcules (q + q ² + ... + q ⁿ) (somme des n - 1 termes d'une suite géométrique et tu vas trouver A ⁿ

Dans le cas de la matrice inversible, je me suis rendue compte que l'implication n'était pas réciproque!
Grace a vos aides, j'ai compris où je me suis trompée et pourquoi ça n'aboutissait pas! Merci beaucoup du temps que vous avez pris pour répondre a mon problème!