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matrices
bonjour ,
on a l'application f dans R3[X] qui a tout polynome P associe
f(P)=P(X-1)+P(X+1)-2P(X)
on nous demande la matrice de f dans la base canonique
la réponse est
f(1) f(x) f(x²) f(x^3)
0 0 2 0
0 0 0 6
0 0 0 0
0 0 0 0
mon probleme , comment on trouve le 2 et le 6 de la matrice ?
je comprends pour les 4 zero de la 1ere colonne , mais ensuite... ?
notamment le 6 , je ne vois pas d'où il vient
et qu'est ce qu'on met dans les lignes, qu'est ce que représentent la 1ere ,la 2eme ligne...
j'ai bien essayé de développer les polynomes, et de voir les degrés 2 , comment les repatir , les degrés 1 ... mais j'ai un peu du mal
si vous pouviez m'aider , merci d'avance
bonjour
tu calcule f(x²)
f(x²)=(x-1)²+(x+1)²-2x²
f(x²)=2
donc f(x²)=2*(x^0) + 0*x + 0*x² + 0*(x^3)
tu obtiens ta colonne
ensuite
tu calcule f(x^3)
f(x^3)=(x-1)^3+(x+1)^3-2x^3
f(x^3)=x^3-3x²+3x-1+x^3+3x²+3x+1-2x^3=6x
donc f(x^3)= 0*(x^0) + 6*x + 0*x² + 0*(x^3)
tu obtiens ta 4ème colonne
voilà je crois que c'est çà que tu voulais
une autre petite question : si j'ai à determiner une base de l'image de f , Im(f) , comment je dois faire ?
est ce que {f(x²),f(x^3)} ou {1,x} (en lisant les lignes donc) est une réponse convenable ?
on peut raisonner par équivalence: Soit Q un polynôme de R3[X].
Q est dans Im(f)
<=> il existe (a,b,c,d) dans R^4 tel que f(aX^3+bX^2+cX+d)=Q
<=> il existe (a,b,c,d) dans R^4 tel que
a*f(X^3)+b*f(X^2)+c*f(X)+d*f(1)=Q
<=> il existe (a,b,c,d) dans R^4 tel que
a*6X+b*2+c*0+d*0=Q
<=> il existe (a',b') dans R^2 tel que
a'X+b'=Q
Autrement dit,Im(f)={aX+b avec (a,b)€R^2} c'est l'ensemble des polynômes de R1[X] donc une base de Im(f) est effectivement {1,X}.
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