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Matrices

Posté par
qilqil 01-12-20 à 21:52

Bonsoir à tous ! J'ai un DM de maths expertes à faire qui est hors programme d'après mon professeur, et je ne sais vraiment pas par où commencer... Pourriez-vous m'aider svp ?

Voici l'énoncé:

On considère la matrice I= (1  0      et la matrice J= (0  1
                                                             0  1 )                                        -1  0)

On note M2(R) l'ensemble des matrices carrées d'ordre 2 à coefficients réels. On rappelle que R² est le produit cartésien de R par lui-même c'est-à-dire l'ensemble des couples (a;b) où a∈R  et b∈R. On note φ la fonction de R² dans M2R telle que φ(a;b) = aI + bJ.
On note enfin ξ le sous ensemble de M2(R) constitué des matrices qui sont l'image d'un couple (a;b) de R² par φ:
ξ= {M∈M2(R) / M= φ (a;b) où a∈R et b∈R}

1) Calculer  φ(7;3) et  φ(-5;2). On donnera la réponse sous forme d'un matrice carrée.
2) Montrer que I et J appartiennent à ξ. Autrement dit, trouver les couples (a;b) dont I et J sont les images.
3) Soit M une matrice de ξ. Exprimer M en explicitant ses quatre coefficients en fonction de a et b.
4) La matrice (1/3   4         appartient-elle à  ξ ?
                                -4      2/3)
5) Exprimer J² en fonction de I, et montrer que J²∈ ξ.
6) Montrer que φ(a;b) = φ(a';b') <=> a = a'
                                                                               b = b'
7) Montrer que ξ est stable par addition et multiplication, c'est-à-dire que si M et M' appartiennt à ξ, alors M+M et MM' également.

Merci d'avance pour votre réponse

Posté par
josiasre : Matrices 01-12-20 à 22:02

Pour la question 1 c'est évident... & (7;3).... & (a;b) =aI +bj I et j étant des matrices.. Donc sa reviens à faire a(1 0) +b(0 1)

Posté par
LeHiboure : Matrices 01-12-20 à 22:03

Bonsoir,

Commence par la question 1
Calcule 7I, 3J, 7I+3J
Calcule -5I, 2J, -5I+2J
Poste tes résultats et on verra pour la suite après...

Posté par
josiasre : Matrices 01-12-20 à 22:04

Donc sous forme d'une matrice carré on obtiens (a 0) et (0 b)

Posté par
josiasre : Matrices 01-12-20 à 22:08

Pour le 2) tu dois poser un point M(x;y) =&(a;b) et tu résous juste tu prouves qu'il existe donc des images... Je crois qu'on appelle ça Imf tu dois trouver des vecteur ou des couples de vecteur en résolvant le système

Posté par
josiasre : Matrices 01-12-20 à 22:09

Plus de batterie à plus

Posté par
qilqilre : Matrices 01-12-20 à 22:34

Merci beaucoup pour vos réponses !

Du coup pour la 1 j'ai:
7I = (7   0                    3J = (0    3      <=>     7I+3J = (7    3
           0   7)                             -3    0)                                    -3    7)

-5I = (-5    0               2J = (0     2     <=>    -5I+2J = (-5   2
              0   -5)                        -2    0)                                      -2  -5)

Je pense que c'est bon.

Posté par
malou Webmasterre : Matrices 02-12-20 à 08:31

Bonjour à tous
qilqil, pour écrire des matrices sur le site
choisis l'éditeur ltx
Matrices
puis
Matrices

Posté par
qilqilre : Matrices 02-12-20 à 10:57

Merci je n'avais pas vu

Posté par
qilqilre : Matrices 02-12-20 à 18:09

Pour la 2) quelqu'un pourrait m'aider svp ? Pour montrer que I et J appartiennent à ξ , dois-je calculer par rapport à  φ puisqu'ils parlent de couples (a;b) ?  

Posté par
qilqilre : Matrices 02-12-20 à 20:51

Personne ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Matrices 03-12-20 à 18:31

Bonjour,
Je note Im au lieu de ξ.
Pour montrer que la matrice I appartient à Im, il suffit de trouver a et b réels tels que
I = aI + bJ.
Ne cherche pas quelque chose de compliqué.
Puis idem pour J.

Posté par
qilqilre : Matrices 04-12-20 à 10:55

Merci

Pour I :
aI + bJ= I
\begin{pmatrix} a & 0\\ 0& a \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & b\\ -b& 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0& 1 \end{pmatrix}


\begin{pmatrix} a & b\\ -b& a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0& 1 \end{pmatrix}

Donc a=1 et b=0. La matrice I est l'image du couple (1;0).

Pour J:
aI + bJ= J

\begin{pmatrix} a & 0\\ 0& a \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & b\\ -b& 0 \end{pmatrix}  = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ -1& 0 \end{pmatrix}


\begin{pmatrix} a & b\\ -b& a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ -1& 0 \end{pmatrix}

Donc a=0 et b=1. La matrice J est l'image du couple (0;1). Ainsi I et J appartiennent à ξ.

Pour la 3), M= φ (a;b) = aI + bJ. Mais dans la question précédente, j'ai trouvé deux valeurs de a différentes: 1 et 0 et deux valeurs de b différentes: 1 et 0. Je dois prendre lesquelles pour trouver la matrice M ? Je peux faire tout simplement M= 1I + 0J ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Matrices 04-12-20 à 11:11

D'accord pour 2).

Pour 3), tu cherches midi à 14h
Contente-toi d'écrire la matrice 22 qui est égale à aI+bJ.

Posté par
qilqilre : Matrices 04-12-20 à 12:11

M= \begin{pmatrix} a & 0\\ 0& a \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & b\\ -b & 0 \end{pmatrix}

= \begin{pmatrix} a & b\\ -b & a \end{pmatrix}

C'est ça ?

4) La matrice \begin{pmatrix} 1/3 & 4\\ -4 & 2/3 \end{pmatrix} n'appartient pas à  ξ, car a= 1/3 est différent de a=2/3.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Matrices 04-12-20 à 12:13

Oui

Posté par
qilqilre : Matrices 04-12-20 à 14:36

La suite est maintenant plus simple je crois que je cherchais trop loin

5) J² = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0 \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} -1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}

Donc J²= -1*I= -I

La matrice J² appartient à ξ, car a=-1 et b=0 (-0=0).

Posté par
qilqilre : Matrices 05-12-20 à 11:31

Pour la question 6 je bloque de nouveau ...

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Matrices 05-12-20 à 11:46

Tu écris les deux matrices φ(a;b) et φ(a';b') ; puis tu traduis le fait qu'elles sont égales.

Posté par
qilqilre : Matrices 05-12-20 à 13:17

Merci je comprends mieux

φ(a;b)= \begin{pmatrix} a & b\\ -b & a \end{pmatrix}
φ(a';b')= \begin{pmatrix} a' & b'\\ -b' & a' \end{pmatrix}


a=a'
b=b'
-b=-b'

--> Donc φ(a;b)=φ(a';b').

Pour la 7):

Comme on l'a démontré à la question 3), M est une matrice de ξ. Puisque φ(a;b) = φ(a';b'), alors M=M' et donc M' appartient également à ξ.

M+M'= \begin{pmatrix} a & b\\ -b & a \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a' & b' \\ -b' & a' \end{pmatrix}
=\begin{pmatrix} 2a & 2b\\ -2b & 2a \end{pmatrix}
= 2 \begin{pmatrix} a & b\\ -b & a \end{pmatrix}

Le coeff c'est 2 alors ?  φ(2;2) ?

MM'=  \begin{pmatrix} a & b\\ -b & a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a' & b' \\ -b' & a' \end{pmatrix}
=\begin{pmatrix} a^2-b^2 & 2ab\\ -2ab& a^2-b^2 \end{pmatrix}

Le coeff de b ce serait 2a ? Par contre pour le coeff de a je ne vois pas

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Matrices 05-12-20 à 14:24

Ce que tu as écrit pour 6) n'est pas clair.
φ(a;b) = φ(a';b') noté (1)
a = a' et b = b' noté (2)

Tu dois démontrer (1) (2).

Soit tu ne manipules que des équivalences pour passer de (1) à (2).
Soit tu démontres les deux implications, en séparant bien.

Pour 7), tu as plus ou moins démontré M+M et M2, pas M+M' et MM'.

Posté par
qilqilre : Matrices 05-12-20 à 15:30

Ah oui merci ! Pour la 7) j'ai trouvé mon erreur :

M+M'= \begin{pmatrix} a & b\\ -b& a \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a' & b'\\ -b' & a' \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} a+a' & b+b' \\ -b+ (-b') & a+a' \end{pmatrix}
= φ(a+a' ; b+b'), où a+a' ∈ R et b+b' ∈ R

MM'= \begin{pmatrix} a & b\\ -b& a \end{pmatrix}  \begin{pmatrix} a' & b'\\ -b' & a' \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} aa'-bb' & ab'+ba'\\ -ab'-ba'& aa'-bb' \end{pmatrix}
=φ(aa' - bb' ; ab' + ba')

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Matrices 05-12-20 à 15:36

D'accord

Tu pouvais aussi faire \; (aI+bJ) + (a'I+b'J) ,
et \; (aI+bJ) (a'I+b'J) .
Mais ce que tu as fait est très bien.

Posté par
qilqilre : Matrices 05-12-20 à 15:57

Pour la question 6) par contre, je ne comprends pas très bien comment il faut procéder.
J'ai fait quelque chose mais je doute que ça soit juste:

a = a' et b = b'
φ(a)=φ(a') et φ(b)=φ(b')
Donc φ(a;b)=φ(a';b') ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Matrices 05-12-20 à 17:36

φ(a) ne veut rien dire.

\varphi (a,b) = \varphi (a',b') \Leftrightarrow \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a' & b' \\ -b' & a' \end{pmatrix} \Leftrightarrow .......

Posté par
qilqilre : Matrices 05-12-20 à 18:35

φ(a;b)= φ(a';b')

<=> \begin{pmatrix} a & b\\ -b & a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a' & b'\\ -b' & a' \end{pmatrix}
<=> a=a' et b=b'

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Matrices 05-12-20 à 18:39

D'accord.

Posté par
qilqilre : Matrices 05-12-20 à 18:41

Merci énormément !! J'ai mieux compris maintenant A bientôt bon week-end

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Matrices 05-12-20 à 18:46

De rien, bon week-end aussi et à une autre fois sur l'île \;

Posté par
malou Webmasterre : Matrices 05-12-20 à 19:03

Bonjour à vous deux,

qilqil, la prochaine fois, ne poste pas ton sujet sur différents sites s'il te plaît.
Tu as eu de la chance que je ne bloque pas ton sujet ici aussi, dès le début, et tu n'aurais pas eu d'aide.
A une autre fois sur l', où si tu travailles, tu auras toujours des réponses.

Posté par
malou Webmasterre : Matrices 06-12-20 à 13:36

bon...je découvre que qilqila toujours continué à se faire aider de deux côté simultanément toute la semaine...inadmissible comme démarche

Posté par
LEEXUre : Matrices 13-12-20 à 12:57

Bonjour, il semblerait effectivement que sous ce pseudonyme Aich ait enfreint les règles en postant vraiment sur plusieurs forums son DM ... Quel dommage d'avoir une démarche comme celle-ci le but étant d'aider un maximum de personnes... C'est désolant.


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