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Matrices

Posté par
gat200321 28-12-20 à 16:12

Bonjour à tous.
J'ai un exercice de maths expertes sur les matrices et j'ai beaucoup de mal sur les questions portant sur les récurrences. Je vous montre mon sujet:
1)soit A= (2    4   )  et I=(1   0)
                             ( - 1  - 2).          (0   1)
a) calculer A^2

je trouve la matrice: 02

b) montrer par récurrence que pour tout entier naturel n non nul: (I+A) ^n = I+nA
Je bloque à cette question, j'arrive à prouver pour n=1 mais je bloque sur l'hérédité

J'espère que vous saurez me donner quelques indications ou la moindre aide. Merci par avance de me consacrer votre temps.
Cordialement Agathe

Posté par
carpediemre : Matrices 28-12-20 à 16:13

salut

a/ réponse non compréhensible ...

Posté par
gat200321re : Matrices 28-12-20 à 16:15

Excusez-moi
En calculant A^2 je trouve la matrice ci-dessous:    (0 0)
                       (0 0)

Soit la matrice 0

Posté par
gat200321re : Matrices 28-12-20 à 16:15

Soit la matrice zéro

Posté par
malou Webmasterre : Matrices 28-12-20 à 16:21

Bonjour
gat200321, pour écrire des matrices lisibles sur notre site
choisir l'éditeur Ltx
Matrices
puis
Matrices

Posté par
gat200321re : Matrices 28-12-20 à 16:32

Bonjour
D'accord merci beaucoup !
Je reé[vert][/vert]cris donc les matrices

1) A=\begin{pmatrix}2 & 4\\ - 1& -2\end{pmatrix}

I= \begin{pmatrix}1 &0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}

a) A2=\begin{pmatrix}0 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}

malou edit > ce qu'il y a au bout de la flèche est un menu déroulant, et donc tu pouvais choisir la matrice avec ses parenthèses   je les ai rajoutées

Posté par
carpediemre : Matrices 28-12-20 à 16:39

ok ...

b/ on te demande de montrer par récurrence ... donc quelle est l'hypothèse de récurrence ?

Posté par
gat200321re : Matrices 28-12-20 à 16:44

L'hypothèse de récurrence est donc:
Pn=(I+A) n=I+nA
C'est bien ça ?

Posté par
carpediemre : Matrices 28-12-20 à 19:33

oui mais écrire proprement :

P(n) est la proposition : " (I + A)^n = I + na"

il faut donc démontrer lamême chose au rang n + 1

or (I + A)^{n + 1} = (I + A)(I + A)^n = ...

Posté par
gat200321re : Matrices 28-12-20 à 22:52

D'accord je comprends
Mais quand je développe je trouve le résultat suivant: I+nA+A+nA2
Alors que j'aimerais trouver I+n+1A

Posté par
naghmouchre : Matrices 29-12-20 à 08:12

Bonjour.

       A² = ?

Posté par
gat200321re : Matrices 29-12-20 à 09:43

Bonjour
Ah oui A2=0 en effet
Il reste donc I+A+nA
Mais est ce que j'ai le droit de factoriser par A ? Comme ceci:
I +(n+1)A
Puisque normalement lorsqu'on factorise A on doit mettre I.

Posté par
naghmouchre : Matrices 29-12-20 à 09:54

C'est juste.

Posté par
gat200321re : Matrices 29-12-20 à 13:05

Merci beaucoup !

Il me reste quelques questions ou je ne suis pas sur où certaines je bloque un peu, je me permet de les écrire. Je met tout l'énoncé pour mieux comprendre.

2) Application:
a) Soit M1=\begin{bmatrix}3 &4 \\ - 1& -1\end{bmatrix}

Calculer, pour tout naturel n non nul, la matrice M1n

peut on écrire ceci ? : si M1n=nM alors M1n=\begin{bmatrix}3n & 4n\\ - n& -n\end{bmatrix}?


b) Même question avec la matrice M2=\begin{bmatrix}-2 &1 \\ -9& 4\end{bmatrix}


3)soit T=\begin{bmatrix}3 & 3\\ -2& -2\end{bmatrix}

a) calculez T2


je trouve la matrice T2=\begin{bmatrix}3 & 3\\ - 2& -2\end{bmatrix}=T


b) Montrer par récurrence que pour tou entier naturel n non nul: (I2+T) n=I2+(2n-1)T

je n'ai pas de problème avec l'initialisation or dans l'hérédité j'ai comme développement final:
"I2+T+(2n-1)T+(2n-1)T"
savez-vous comment je peux réduire ceci ?

c) calculer pour tout entier naturel n non nul
\begin{bmatrix}4 &3 \\ -2& -1\end{bmatrix}n


ici je ne vois pas du tout comment procéder.

Voila, je vous remercie beaucoup de me consacrer votre temps.

Posté par
gat200321re : Matrices 29-12-20 à 15:16

C'est bon pour la question 3)b), j'ai réussi à la résoudre !
En revanche les questions 2)a et 2)b ainsi que 3)c. J'ai un peu de mal

Posté par
carpediemre : Matrices 29-12-20 à 15:25

peut-être déjà calculer leur carré ... et nous donner le résultat) ...

Posté par
gat200321re : Matrices 29-12-20 à 15:32

D'accord

2)a) je trouve M12=\begin{bmatrix}5 &8 \\ -2& -3\end{bmatrix}


2)b) M22=\begin{bmatrix}-5 & 2\\ - 18& 7\end{bmatrix}

Posté par
carpediemre : Matrices 29-12-20 à 15:42

puisqu'on ne voit rien il faut calculer leur cube ...

Posté par
carpediemre : Matrices 29-12-20 à 15:43

ou trouver des réels a, b et c tels que aM^2 + bM + cI = 0 ....

Posté par
gat200321re : Matrices 29-12-20 à 15:50

2)a) M13=\begin{pmatrix}7 & 12\\ -3& -5\end{pmatrix}
  
On remarque qu'à chaque n+1 on rajoute cette matrice:

\begin{bmatrix}+2 & +4\\ -1& -2\end{bmatrix}

2)b) M23=\begin{pmatrix}-8 & 3\\ -27& 10\end{pmatrix}

On remarque ici qu'à chaque n+1 on rajoute cette matrice:

\begin{bmatrix}-3 & +1\\ -9& +3\end{bmatrix}

Mais comment poursuivre ?

Posté par
gat200321re : Matrices 29-12-20 à 16:14

Pour la deuxième méthode le problème est que par exemple pour la question 2)a. On ne trouve pas de valeurs pour a, b, c
On trouve a=-0,5b et b=-2c

Posté par
carpediemre : Matrices 29-12-20 à 16:27

en notant J la matrice que tu ajoutes dans chaque cas montre alors ce résultat pas récurrence ...

Posté par
gat200321re : Matrices 29-12-20 à 16:51

D'accord je vais essayer
donc ma conjecture est: "M1n+J=M1n+1"?

Posté par
carpediemre : Matrices 29-12-20 à 17:09

non cela est la relation de récurrence entre deux puissances consécutives ...

n'oublie pas la question 1/ ...

Posté par
gat200321re : Matrices 29-12-20 à 17:10

Finalement la conjecture ci dessous me paraît plus juste: "M1n=\begin{bmatrix}2n+1 &4n \\ -n& 1-2n\end{bmatrix}"

Posté par
carpediemre : Matrices 29-12-20 à 17:12

fait le lien avec la question 1/ la matrice que j'ai appelée J est notée A dans la question 1/ ...

Posté par
gat200321re : Matrices 29-12-20 à 17:18

M1n+A=M1n+1 ?
Je dois prouver ceci ?

Posté par
gat200321re : Matrices 29-12-20 à 17:30

Ah sinon j'ai trouvé ça:
(M1+A) n=M1+nA

Posté par
carpediemre : Matrices 29-12-20 à 17:51

voila c'est ce qu'il faut démontrer par récurrence ...

Posté par
gat200321re : Matrices 29-12-20 à 18:18

D'accord mercii.
Au développement de l'hérédité je trouve: "M12+AM1+nAM1"
En factorisant par M1 j'obtiens:
"M1(M1+A+nA)"
Est-il possible de refactoriser par A?

Posté par
gat200321re : Matrices 29-12-20 à 18:21

Mais est ce que cette démonstration par récurrence répond à la question 2)a. C'est à dire calculer la matrice M1n?

Posté par
carpediemre : Matrices 29-12-20 à 18:47

si l'hypothèse est

gat200321 @ 29-12-2020 à 17:30

(M1+A) n=M1+nA
alors tu dois trouver la même chose au rang n + 1

que vaut AM ? et M ?

si ça ne marche pas c'est que ta conjecture est fausse ...

Posté par
gat200321re : Matrices 29-12-20 à 19:05

En effet on remarque en calculant que MA=A
J'ai donc ceci à la fin:
"M12+(n+1)A"
Or je ne trouve pas M1 au début...

Posté par
carpediemre : Matrices 29-12-20 à 19:09

M = M + 0A
M^2 = M + 1A

M^n = ... ?

Posté par
gat200321re : Matrices 29-12-20 à 19:27

Je suis vraiment désolé je cherche à comprendre mais je ne vois pas d'où vient ce que vous avez écrit.

Posté par
gat200321re : Matrices 29-12-20 à 19:32

Mn= M+(n-1)A ??

Posté par
carpediemre : Matrices 29-12-20 à 19:33

pardon ... erreur ...

carpediem @ 29-12-2020 à 19:09

(M + A)^2 = M + 1A
(M + A)^3 = M + 2A

(M + A)^n = ... ?

Posté par
gat200321re : Matrices 29-12-20 à 19:34

Donc dans l'hérédité je trouve:
"M+A(n+2)" c'est bien cela ?

Posté par
gat200321re : Matrices 29-12-20 à 19:36

Ah ok oui donc:
(M+A) n=M+(n-1)A?

Posté par
gat200321re : Matrices 29-12-20 à 19:48

Ce n'est pas plutôt:
(M+A) n=M+nA?
Et (M+A) 2=M+2A

Posté par
carpediemre : Matrices 29-12-20 à 22:11

à toi de vérifier pour n = 1, 2, 3 ... pour trouver la bonne expression ...

puis de la prouver par récurrence !!

Posté par
gat200321re : Matrices 29-12-20 à 22:51

D'accord je vous remercie.
Avez vous une idée pour la question 3.c ?

Posté par
carpediemre : Matrices 30-12-20 à 01:00

la questions 3c/ est précédées des questions 1/ ... 2/ ... 3/ a et b ... et tu n'as aucune idée ?

Posté par
gat200321re : Matrices 30-12-20 à 01:29

Je vais mieux rechercher alors.
Je vous remercie pour vos réponses.

Posté par
gat200321re : Matrices 30-12-20 à 11:32

Pour cette dernière question j'ai écrit ceci:
\begin{bmatrix}4 & 3\\ - 2& -1\end{bmatrix}^n = \begin{bmatrix}1 & 0\\ 0& 1 \end{bmatrix}^n+\begin{bmatrix}3 &3 \\ -2& -2 \end{bmatrix}^n
= (I+T) ^n
= I+(2n-1)T

Je ne sais pas si je répond bien à la question...

Posté par
carpediemre : Matrices 30-12-20 à 12:08

ça m'étonnerait que (a + b)^n = a^n + b^n ...

par contre tu viens de faire le lien avec ce qui précède donc en essayant pour les premières puissances de n de trouver une relation de récurrence ou même une formule générale et en la prouvant alors c'est gagné

Posté par
gat200321re : Matrices 30-12-20 à 14:26

En effet
Je penses avoir trouvé une conjecture correcte, grâce aux calculs des premiers termes et j'ai réussi à la prouver par récurrence:

\begin{bmatrix}-2+3*2^n & -3+3*2^n\\ 2-2^n^+^1 & 3-2^n^+ \end{bmatrix}

Posté par
carpediemre : Matrices 30-12-20 à 14:47

et bien !!

voila un vrai travail personnel qui ne peut que t'être bénéfique ...

PS : je ne vérifie pas bien sûr ... car tu en es tout à fait capable avec le travail que tu viens de mener !!!

Posté par
gat200321re : Matrices 30-12-20 à 16:15

Merci beaucoup d'avoir mené mon travail, je n'y serait pas arriver sinon.
Vous m'avez bien aidé !
Passez une belle fin de journée !

Posté par
carpediemre : Matrices 30-12-20 à 16:16

de rien et à toi aussi

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