Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques LycéeOn parle exclusivement de maths, niveau lycée. TerminaleForum de terminale Calcul matricielTopics traitant de calcul matriciel [tout]Lister tous les topics de mathématiques

1 2 +

Niveau terminale
Partager :

Matrices

Posté par
gat200321 28-12-20 à 16:12

Bonjour à tous.
J'ai un exercice de maths expertes sur les matrices et j'ai beaucoup de mal sur les questions portant sur les récurrences. Je vous montre mon sujet:
1)soit A= (2    4   )  et I=(1   0)
                             ( - 1  - 2).          (0   1)
a) calculer A^2

je trouve la matrice: 02

b) montrer par récurrence que pour tout entier naturel n non nul: (I+A) ^n = I+nA
Je bloque à cette question, j'arrive à prouver pour n=1 mais je bloque sur l'hérédité

J'espère que vous saurez me donner quelques indications ou la moindre aide. Merci par avance de me consacrer votre temps.
Cordialement Agathe

Posté par
carpediemre : Matrices 28-12-20 à 16:13

salut

a/ réponse non compréhensible ...

Posté par
gat200321re : Matrices 28-12-20 à 16:15

Excusez-moi
En calculant A^2 je trouve la matrice ci-dessous:    (0 0)
                       (0 0)

Soit la matrice 0

Posté par
gat200321re : Matrices 28-12-20 à 16:15

Soit la matrice zéro

Posté par
malou Webmasterre : Matrices 28-12-20 à 16:21

Bonjour
gat200321, pour écrire des matrices lisibles sur notre site
choisir l'éditeur Ltx
Matrices
puis
Matrices

Posté par
gat200321re : Matrices 28-12-20 à 16:32

Bonjour
D'accord merci beaucoup !
Je reé[vert][/vert]cris donc les matrices

1) A=\begin{pmatrix}2 & 4\\ - 1& -2\end{pmatrix}

I= \begin{pmatrix}1 &0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}

a) A2=\begin{pmatrix}0 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}

malou edit > ce qu'il y a au bout de la flèche est un menu déroulant, et donc tu pouvais choisir la matrice avec ses parenthèses   je les ai rajoutées

Posté par
carpediemre : Matrices 28-12-20 à 16:39

ok ...

b/ on te demande de montrer par récurrence ... donc quelle est l'hypothèse de récurrence ?

Posté par
gat200321re : Matrices 28-12-20 à 16:44

L'hypothèse de récurrence est donc:
Pn=(I+A) n=I+nA
C'est bien ça ?

Posté par
carpediemre : Matrices 28-12-20 à 19:33

oui mais écrire proprement :

P(n) est la proposition : " (I + A)^n = I + na"

il faut donc démontrer lamême chose au rang n + 1

or (I + A)^{n + 1} = (I + A)(I + A)^n = ...

Posté par
gat200321re : Matrices 28-12-20 à 22:52

D'accord je comprends
Mais quand je développe je trouve le résultat suivant: I+nA+A+nA2
Alors que j'aimerais trouver I+n+1A

Posté par
naghmouchre : Matrices 29-12-20 à 08:12

Bonjour.

       A² = ?

Posté par
gat200321re : Matrices 29-12-20 à 09:43

Bonjour
Ah oui A2=0 en effet
Il reste donc I+A+nA
Mais est ce que j'ai le droit de factoriser par A ? Comme ceci:
I +(n+1)A
Puisque normalement lorsqu'on factorise A on doit mettre I.

Posté par
naghmouchre : Matrices 29-12-20 à 09:54

C'est juste.

Posté par
gat200321re : Matrices 29-12-20 à 13:05

Merci beaucoup !

Il me reste quelques questions ou je ne suis pas sur où certaines je bloque un peu, je me permet de les écrire. Je met tout l'énoncé pour mieux comprendre.

2) Application:
a) Soit M1=\begin{bmatrix}3 &4 \\ - 1& -1\end{bmatrix}

Calculer, pour tout naturel n non nul, la matrice M1n

peut on écrire ceci ? : si M1n=nM alors M1n=\begin{bmatrix}3n & 4n\\ - n& -n\end{bmatrix}?


b) Même question avec la matrice M2=\begin{bmatrix}-2 &1 \\ -9& 4\end{bmatrix}


3)soit T=\begin{bmatrix}3 & 3\\ -2& -2\end{bmatrix}

a) calculez T2


je trouve la matrice T2=\begin{bmatrix}3 & 3\\ - 2& -2\end{bmatrix}=T


b) Montrer par récurrence que pour tou entier naturel n non nul: (I2+T) n=I2+(2n-1)T

je n'ai pas de problème avec l'initialisation or dans l'hérédité j'ai comme développement final:
"I2+T+(2n-1)T+(2n-1)T"
savez-vous comment je peux réduire ceci ?

c) calculer pour tout entier naturel n non nul
\begin{bmatrix}4 &3 \\ -2& -1\end{bmatrix}n


ici je ne vois pas du tout comment procéder.

Voila, je vous remercie beaucoup de me consacrer votre temps.

Posté par
gat200321re : Matrices 29-12-20 à 15:16

C'est bon pour la question 3)b), j'ai réussi à la résoudre !
En revanche les questions 2)a et 2)b ainsi que 3)c. J'ai un peu de mal

Posté par
carpediemre : Matrices 29-12-20 à 15:25

peut-être déjà calculer leur carré ... et nous donner le résultat) ...

Posté par
gat200321re : Matrices 29-12-20 à 15:32

D'accord

2)a) je trouve M12=\begin{bmatrix}5 &8 \\ -2& -3\end{bmatrix}


2)b) M22=\begin{bmatrix}-5 & 2\\ - 18& 7\end{bmatrix}

Posté par
carpediemre : Matrices 29-12-20 à 15:42

puisqu'on ne voit rien il faut calculer leur cube ...

Posté par
carpediemre : Matrices 29-12-20 à 15:43

ou trouver des réels a, b et c tels que aM^2 + bM + cI = 0 ....

Posté par
gat200321re : Matrices 29-12-20 à 15:50

2)a) M13=\begin{pmatrix}7 & 12\\ -3& -5\end{pmatrix}
  
On remarque qu'à chaque n+1 on rajoute cette matrice:

\begin{bmatrix}+2 & +4\\ -1& -2\end{bmatrix}

2)b) M23=\begin{pmatrix}-8 & 3\\ -27& 10\end{pmatrix}

On remarque ici qu'à chaque n+1 on rajoute cette matrice:

\begin{bmatrix}-3 & +1\\ -9& +3\end{bmatrix}

Mais comment poursuivre ?

Posté par
gat200321re : Matrices 29-12-20 à 16:14

Pour la deuxième méthode le problème est que par exemple pour la question 2)a. On ne trouve pas de valeurs pour a, b, c
On trouve a=-0,5b et b=-2c

Posté par
carpediemre : Matrices 29-12-20 à 16:27

en notant J la matrice que tu ajoutes dans chaque cas montre alors ce résultat pas récurrence ...

Posté par
gat200321re : Matrices 29-12-20 à 16:51

D'accord je vais essayer
donc ma conjecture est: "M1n+J=M1n+1"?

Posté par
carpediemre : Matrices 29-12-20 à 17:09

non cela est la relation de récurrence entre deux puissances consécutives ...

n'oublie pas la question 1/ ...

Posté par
gat200321re : Matrices 29-12-20 à 17:10

Finalement la conjecture ci dessous me paraît plus juste: "M1n=\begin{bmatrix}2n+1 &4n \\ -n& 1-2n\end{bmatrix}"

Posté par
carpediemre : Matrices 29-12-20 à 17:12

fait le lien avec la question 1/ la matrice que j'ai appelée J est notée A dans la question 1/ ...

Posté par
gat200321re : Matrices 29-12-20 à 17:18

M1n+A=M1n+1 ?
Je dois prouver ceci ?

Posté par
gat200321re : Matrices 29-12-20 à 17:30

Ah sinon j'ai trouvé ça:
(M1+A) n=M1+nA

Posté par
carpediemre : Matrices 29-12-20 à 17:51

voila c'est ce qu'il faut démontrer par récurrence ...

Posté par
gat200321re : Matrices 29-12-20 à 18:18

D'accord mercii.
Au développement de l'hérédité je trouve: "M12+AM1+nAM1"
En factorisant par M1 j'obtiens:
"M1(M1+A+nA)"
Est-il possible de refactoriser par A?

Posté par
gat200321re : Matrices 29-12-20 à 18:21

Mais est ce que cette démonstration par récurrence répond à la question 2)a. C'est à dire calculer la matrice M1n?

Posté par
carpediemre : Matrices 29-12-20 à 18:47

si l'hypothèse est

gat200321 @ 29-12-2020 à 17:30

(M1+A) n=M1+nA
alors tu dois trouver la même chose au rang n + 1

que vaut AM ? et M ?

si ça ne marche pas c'est que ta conjecture est fausse ...

Posté par
gat200321re : Matrices 29-12-20 à 19:05

En effet on remarque en calculant que MA=A
J'ai donc ceci à la fin:
"M12+(n+1)A"
Or je ne trouve pas M1 au début...

Posté par
carpediemre : Matrices 29-12-20 à 19:09

M = M + 0A
M^2 = M + 1A

M^n = ... ?

Posté par
gat200321re : Matrices 29-12-20 à 19:27

Je suis vraiment désolé je cherche à comprendre mais je ne vois pas d'où vient ce que vous avez écrit.

Posté par
gat200321re : Matrices 29-12-20 à 19:32

Mn= M+(n-1)A ??

Posté par
carpediemre : Matrices 29-12-20 à 19:33

pardon ... erreur ...

carpediem @ 29-12-2020 à 19:09

(M + A)^2 = M + 1A
(M + A)^3 = M + 2A

(M + A)^n = ... ?

Posté par
gat200321re : Matrices 29-12-20 à 19:34

Donc dans l'hérédité je trouve:
"M+A(n+2)" c'est bien cela ?

Posté par
gat200321re : Matrices 29-12-20 à 19:36

Ah ok oui donc:
(M+A) n=M+(n-1)A?

Posté par
gat200321re : Matrices 29-12-20 à 19:48

Ce n'est pas plutôt:
(M+A) n=M+nA?
Et (M+A) 2=M+2A

Posté par
carpediemre : Matrices 29-12-20 à 22:11

à toi de vérifier pour n = 1, 2, 3 ... pour trouver la bonne expression ...

puis de la prouver par récurrence !!

Posté par
gat200321re : Matrices 29-12-20 à 22:51

D'accord je vous remercie.
Avez vous une idée pour la question 3.c ?

Posté par
carpediemre : Matrices 30-12-20 à 01:00

la questions 3c/ est précédées des questions 1/ ... 2/ ... 3/ a et b ... et tu n'as aucune idée ?

Posté par
gat200321re : Matrices 30-12-20 à 01:29

Je vais mieux rechercher alors.
Je vous remercie pour vos réponses.

Posté par
gat200321re : Matrices 30-12-20 à 11:32

Pour cette dernière question j'ai écrit ceci:
\begin{bmatrix}4 & 3\\ - 2& -1\end{bmatrix}^n = \begin{bmatrix}1 & 0\\ 0& 1 \end{bmatrix}^n+\begin{bmatrix}3 &3 \\ -2& -2 \end{bmatrix}^n
= (I+T) ^n
= I+(2n-1)T

Je ne sais pas si je répond bien à la question...

Posté par
carpediemre : Matrices 30-12-20 à 12:08

ça m'étonnerait que (a + b)^n = a^n + b^n ...

par contre tu viens de faire le lien avec ce qui précède donc en essayant pour les premières puissances de n de trouver une relation de récurrence ou même une formule générale et en la prouvant alors c'est gagné

Posté par
gat200321re : Matrices 30-12-20 à 14:26

En effet
Je penses avoir trouvé une conjecture correcte, grâce aux calculs des premiers termes et j'ai réussi à la prouver par récurrence:

\begin{bmatrix}-2+3*2^n & -3+3*2^n\\ 2-2^n^+^1 & 3-2^n^+ \end{bmatrix}

Posté par
carpediemre : Matrices 30-12-20 à 14:47

et bien !!

voila un vrai travail personnel qui ne peut que t'être bénéfique ...

PS : je ne vérifie pas bien sûr ... car tu en es tout à fait capable avec le travail que tu viens de mener !!!

Posté par
gat200321re : Matrices 30-12-20 à 16:15

Merci beaucoup d'avoir mené mon travail, je n'y serait pas arriver sinon.
Vous m'avez bien aidé !
Passez une belle fin de journée !

Posté par
carpediemre : Matrices 30-12-20 à 16:16

de rien et à toi aussi

1 2 +


Rechercher
Menu
Espace membre
35 visiteurs
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1719 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !