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matrices, applications linéaires
bonsoir,
Je passe un examen demain et pour m'entrainer je faisait un exercice, mais je n'y arrive pas du tout. Pouvez vous m'aider s'il vous plait?
Soient A 
Mn (R) et B = tAA. On note f et g les applications de Mn;1(R)
dans Mn;1 (R) dé…nies par f (X) = AX et g (X) = BX pour tout X Mn;1 (R).
1. Prouver que Y Mn;1 (R) vérifie tY Y = 0 si et seulement si Y = 0.
2. Prouver que g et f sont linéaires et que ker f = ker g.
3. Prouver que rgA = rg tAA.m
Merci de votre aide
J'ai finalement réussi pour la question 1, mais je bloque pour la 2. En effet, si x et x' appartiennent à Mn;1, f(x)=ax et f(x')=ax', je sais que x+cx' (avec c un scalaire) appartient à Mn;1, mais comment montrer que f(x+cx')=f(x)+cf(x')?
Bonjour
1. Si on a
2. Linéaires presque par définition! Il est immédiat que si , on a
. Réciproquement, si
, on a aussi
et tu utilises la question 1.
3. Utilise le théorème du rang.
En fait, cest j'ai trouver comment monter que f et g étaient linéaires, mais pour montrer que kerf=kerg; j'obtient
x appartient à ker f <=> AX=0
x appartient à ker g <=> tAAX=0
mais je n'arrive pas à aller plus loin
Bonsoir,
1. On pose .
On a . Avec ça vous pouvez finir la question.
2. f et g linéaire découle des règles de calcul dans l'anneau des matrices ( distributivité ...)
Soit Y dans ker(g).
d'apres la question 1, . D'ou ker(g) inclus dans ker(f).
L'autre inclusion est évidente.
3. Théorème du rang.
Merci, mais pour la question 3, je ne vois pas quelle application linéaire utiliser, et A est une matrice, pas un espace vectoriel. Comment utiliser alors le théorème du rang?
Tu appliques le théoreme du rang a f puis g
Or on a ker(f)=ker(g)
d'ou en faisant la différence des 2 lignes, on a
D'où en passant aux matrices
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