Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Matrices de symétries
Bonsoir,
J'ai dans mon cours une propriété qui dis que A€Mp(K) est une matrice de symétrie si et seulement si il existe r dans {1,...p} tel que A soit semblable à :
( Ip O )
( O -I(p-r) )
J'ai du mal à voir comment on peut utiliser cette propriété, pour le moment je ne vois pas trop son utilité. Si vous pouviez m'éclairer sur ce point.
Par ailleurs, si l'on dispose d'une symétrie en tant qu'application (par exemple A -> transposée(A) ) comment peut on utiliser la propriété pour obtenir la matrice correspondante ?
(en d'autre terme comment avoir acces à (p,r) ?)
Merci d'avance 
Nil.
Bonjour.
Matrice de symétrie signifie matrice représentant une symétrie de E = en termes de géométrie. On prend deux sous-espaces supplémentaires F et G, on décompose tout x de E sur F et G :
. On appelle symétrie par rapport à F dans la direction G l'endomorphisme s de E défini par
.
Tu remarques que tous les éléments de F sont invariants et tous ceux de G sont transformés en leurs opposés. On suppose dim(F) = r et on considère une base B de E formée par la réunion :
d'une base
et d'une base . Alors :
.
Le "r" est donc donné par la diemnsion du sous-espace par rapport auquel on effectue la symétrie.
J'espère ne pas avoir été trop obscur : fais un dessin dans en prenant pour F un plan et pour G une droite et regarde la symétrie par rapport au plan dans la direction de la droite.
Pour revenir à ton exemple de transposition, l'espace E considéré est celui des matrices d'ordre n, donc dim(E) = p = n². L'endomorphisme de transposition que je note T possède la propriété : si A est symétrique, T(A) = A et si A est antisymétrique, T(A) = -A. Alors, on a la chance que le sous-espace des matrices symétriques et le sous-espace
des matrices antisymétriques sont supplémentaires dans E =
. Comme
, et
, la matrice de la transposition T sur une base B réunion d'une base de
et d'une base de
sera :
.
Cordialement RR
Annuler
connectez vous
algèbre en post-bac