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Matrices diagonales

Posté par
Marth 22-02-17 à 13:27

Bonjour j'ai un exercice que je ne comprend pas voici le sujet:

Diagonalisez la matrice:
A=\begin{pmatrix} 1 &1 & 1\\ 0& 2& 2\\ 0& 0 &3 \end{pmatrix}

En déduire An pour tout entier n.

Posté par
luzakre : Matrices diagonales 22-02-17 à 14:18

Bonjour !
Si tu ne comprends pas les expressions "diagonaliser" ou "calculer A^n pour n entier" on aura du mal à t'aider !

Tu affiches un niveau "terminale" : ces questions ne sont effectivement pas du programme de cette classe.

Posté par
Marthre : Matrices diagonales 23-02-17 à 02:17

J'aurais vraiment besoin d'aide pour cet exercice

Posté par
Flewerre : Matrices diagonales 23-02-17 à 02:38

Qu'attends-tu pour diagonaliser cette matrice ?

Posté par
Marthre : Matrices diagonales 23-02-17 à 14:08

Une matrice est diagonalisable si:
A=PDP-1
P-1A=DP-1
P-1AP=D
AP=PD

Posté par
jsvdbre : Matrices diagonales 23-02-17 à 14:46

Bonjor Marth

D'accord, et comment on trouve D et P ? Que représente P ?

Posté par
jsvdbre : Matrices diagonales 23-02-17 à 14:46

D'ailleurs, sais-tu pourquoi on a choisi la lettre "P" pour ces matrices là ?

Posté par
Marthre : Matrices diagonales 23-02-17 à 21:25

Le P je les sortie de mon cours

Posté par
Marthre : Matrices diagonales 23-02-17 à 21:46

Qu'est ce que je dois faire ensuite ?

Posté par
jsvdbre : Matrices diagonales 23-02-17 à 22:43

P est la première lettre du mot Passage.
Sais tu ce qu'est une matrice de passage ?

Posté par
Marthre : Matrices diagonales 24-02-17 à 02:09

Pas du tout qu'est ce que je dois faire pour finir cet exercice rapidement ?

Posté par
Flewerre : Matrices diagonales 24-02-17 à 04:35

Comprendre la notion de matrices de passage... C'est fondamental en algèbre linéaire, et encore plus quant tu veux réduire.

Posté par
Marthre : Matrices diagonales 24-02-17 à 15:26

Pour répondre à jsvdb j'ai regarder mon cours voici ce que j'ai pour le matrice de passage:
Une matrice carrée A est diagonalisable s'il existe une matrice
diagonale D et une matrice inversible P, appelée matrice de passage,
telle que :
A=PDP-1

Posté par
ThierryPomare : Matrices diagonales 24-02-17 à 15:36

Bonjour,

Tu n'aurais pas un truc dans ton cours avec la notion de polynômes ? Si oui, lequel (voire lesquels) ? Lire un cours est une chose ; le comprendre demande beaucoup d'efforts.

Posté par
jsvdbre : Matrices diagonales 24-02-17 à 16:13

Marth @ 24-02-2017 à 15:26

s'il existe [***] une matrice inversible P, appelée matrice de passage

Et nulle part dans ton cours on ne te donne ce qu'est une matrice de passage .
Si c'est le cas, il vaut mieux prendre ThierryPoma comme prof.
Toute la diagonalisation repose sur cette notion, la preuve, la définition que tu as.
Donc j'insiste lourdement : qu'est-ce que la matrice de passage entre deux bases d'un espace vectoriel de dimension n ?

Posté par
Marthre : Matrices diagonales 24-02-17 à 17:09

Je vient de vous le donner ce que j'ai dans mon cours lors de ma réponse précédente tout mon cours est sur moodle j'ai vérifier je n'est rien d'autre

Posté par
ThierryPomare : Matrices diagonales 24-02-17 à 17:16

Par exemple, "Polynôme caractéristique", cela ne te dit rien du tout ?

Posté par
ThierryPomare : Matrices diagonales 24-02-17 à 17:18

Ayant ici une matrice triangulaire, les valeurs propres sont visibles, sans efforts !

Posté par
jsvdbre : Matrices diagonales 24-02-17 à 17:23

luzak @ 22-02-2017 à 14:18

Tu affiches un niveau "terminale" : ces questions ne sont effectivement pas du programme de cette classe.

Il serait bon que tu mettes ton profil à jour.
J'imagine que tu n'est plus en terminale pour que l'on te parle de diagonalisation.
Quelle spécialité fais-tu ? Parce que si ton cours se résume à ce que tu nous as dit ... ça fait plutôt très très très léger ... et peu sérieux !

Sinon, le notion de vecteur propre, ça te dit quelque chose ?

Posté par
Marthre : Matrices diagonales 24-02-17 à 17:59

Oui je suis en license économie et gestion et j'ai des difficultes comme vous pouviez le voir pour faire l'exercice

Posté par
jsvdbre : Matrices diagonales 24-02-17 à 18:08

Ahhh ! d'accord on comprend mieux maintenant ! Dans ce cas allons-y  pas à pas !
Quel est le polynome caractéristique de la matrice A ? P_A(\lambda) = \det(A- \lambda.I_3)

Posté par
Marthre : Matrices diagonales 24-02-17 à 18:22

PA()=det(A-.I3)
J'avoue que je ne sais pas quoi faire après ce que vous aviez fait

Posté par
jsvdbre : Matrices diagonales 24-02-17 à 18:27

Calcule effectivement cette quantité ! Ici, c'est très facile.

Posté par
Marthre : Matrices diagonales 24-02-17 à 19:40

det(A-.I3)
=1+

Posté par
jsvdbre : Matrices diagonales 24-02-17 à 20:07

A-\lambda.I_3 =\begin{pmatrix} 1-\lambda &1 & 1\\ 0& 2-\lambda& 2\\ 0& 0 &3-\lambda \end{pmatrix}

\det (A-\lambda.I_3) = (1-\lambda)(2-\lambda)(3-\lambda)

Il y a donc 3 valeurs propres qui sont 1, 2 et 3. Peux-tu trouver des vecteurs propres associés ?

Posté par
Marthre : Matrices diagonales 24-02-17 à 23:00

En fessant:
V=(x1,x2,x3)T
V est un vecteur propre de =2 si MV=2V

Posté par
jsvdbre : Matrices diagonales 25-02-17 à 00:00

Tout à fait, alors vas-y pour la valeur 2 : tu résous ce système

\begin{pmatrix} -1 &1 & 1\\ 0& 0& 2\\ 0& 0 &1 \end{pmatrix}.\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 0\end{pmatrix}

Posté par
Marthre : Matrices diagonales 25-02-17 à 00:45

-x+y+z=x
2y=y
y=z

Posté par
jsvdbre : Matrices diagonales 25-02-17 à 01:04

Plus précisément :

-x + y + z = 0
              2z = 0
                 z = 0         donc x = y et z = 0

On peut prendre par exemple v_2 = (1,1,0)^t au plus simple

Posté par
Marthre : Matrices diagonales 25-02-17 à 01:09

Et je dois faire quoi ensuite avec le système ?

Posté par
jsvdbre : Matrices diagonales 25-02-17 à 01:10

tu fais pour la valeur 1 :

\begin{pmatrix} 0 &1 & 1\\ 0& 1& 2\\ 0& 0 &2 \end{pmatrix}.\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 0\end{pmatrix}

v_1 = ...

et tu fais pour la valeur 3 :

\begin{pmatrix} -2 &1 & 1\\ 0& -1& 2\\ 0& 0 &0 \end{pmatrix}.\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 0\end{pmatrix}

v_3 = ...

Posté par
Marthre : Matrices diagonales 25-02-17 à 01:31

v1=y+z=x
y+2z=y
2z=z

v3=-2x+y+z=x
-y+2z=y
=z

Posté par
Marthre : Matrices diagonales 25-02-17 à 12:32

C'est correct ?

Posté par
Marthre : Matrices diagonales 25-02-17 à 14:15

Y'a quelqu'un ?

Posté par
jsvdbre : Matrices diagonales 25-02-17 à 15:53

(désolé, j'ai aussi une vie de famille !)

tu fais pour la valeur 1 :

\begin{pmatrix} 0 &1 & 1\\ 0& 1& 2\\ 0& 0 &2 \end{pmatrix}.\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 0\end{pmatrix}

On a donc
y+z = 0
y +2z = 0
2z = 0 on tire par exemple v_1 = (1,0,0)^t

et tu fais pour la valeur 3 :

\begin{pmatrix} -2 &1 & 1\\ 0& -1& 2\\ 0& 0 &0 \end{pmatrix}.\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 0\end{pmatrix}

On a donc :
-2x + y +z =0
         -y +2z = 0

On tire v_3 = (3,4,2)^t

On avait trouvé v_2 = (1,1,0)^t

On forme donc notre matrice de passage P = (v_1,v_2,v_3) = \begin{pmatrix} 1 &1 & 3\\ 0& 1&4\\ 0& 0 &2 \end{pmatrix}

On déduit P^{-1} =  \begin{pmatrix} 1 &-1 & 1/2\\ 0& 1&-2\\ 0& 0 &1/2 \end{pmatrix}

On a alors A = P. \begin{pmatrix} 1 &0 & 0\\ 0& 2&0\\ 0& 0 &3 \end{pmatrix}.P^{-1}

On peut calculer A^n = P. \begin{pmatrix} 1 &0 & 0\\ 0& 2^n&0\\ 0& 0 &3^n \end{pmatrix}.P^{-1} = (je te laisse faire le calcul)

La méthode est là, c'est l'essentiel, les erreurs de calculs probablement aussi, mais c'est secondaire

Posté par
Marthre : Matrices diagonales 25-02-17 à 16:39

Pour calculer An on doit s'y prendre comment à la fin ?

Posté par
jsvdbre : Matrices diagonales 25-02-17 à 17:11

Tu calcules A^n = P. \begin{pmatrix} 1 &0 & 0\\ 0& 2^n&0\\ 0& 0 &3^n \end{pmatrix}.P^{-1} en remplaçant P par son expression.
Tu sais multiplier deux matrices carrées ?

Posté par
Marthre : Matrices diagonales 25-02-17 à 18:14

Je pense qu'il faut faire A2=

Posté par
jsvdbre : Matrices diagonales 25-02-17 à 18:32

On a calculé A = P.D.P^{-1} donc A^n = (P.D.P^{-1})^n=P.D.P^{-1}.P.D.P^{-1}. ... .P.D.P^{-1}=P.D^n.P^{-1}

Tu n'as donc plus qu'à calculer

\begin {aligned} P.D^n.P^{-1}&=\begin{pmatrix} 1 &1 & 3\\ 0& 1&4\\ 0& 0 &2 \end{pmatrix}. \begin{pmatrix} 1 &0 & 0\\ 0& 2^n&0\\ 0& 0 &3^n \end{pmatrix}. \begin{pmatrix} 1 &-1 & 1/2\\ 0& 1&-2\\ 0& 0 &1/2 \end{pmatrix} \\&=\begin{pmatrix} 1 &1 & 3\\ 0& 1&4\\ 0& 0 &2 \end{pmatrix}.\begin{pmatrix} 1 &-1 & 1/2\\ 0& 2^n&-2^{n+1}\\ 0& 0 &3^n/2 \end{pmatrix} \\&= \begin{pmatrix} 1 &-1+2^n & 1/2 -2^{n+1}+3^{n+1}/2\\ 0& 2^n&-2^{n+1}+2.3^n\\ 0& 0 &3^n = A^n\end{pmatrix}\end{aligned}

saur erreur

Posté par
jsvdbre : Matrices diagonales 25-02-17 à 18:33

\begin {aligned} P.D^n.P^{-1}&=\begin{pmatrix} 1 &1 & 3\\ 0& 1&4\\ 0& 0 &2 \end{pmatrix}. \begin{pmatrix} 1 &0 & 0\\ 0& 2^n&0\\ 0& 0 &3^n \end{pmatrix}. \begin{pmatrix} 1 &-1 & 1/2\\ 0& 1&-2\\ 0& 0 &1/2 \end{pmatrix} \\&=\begin{pmatrix} 1 &1 & 3\\ 0& 1&4\\ 0& 0 &2 \end{pmatrix}.\begin{pmatrix} 1 &-1 & 1/2\\ 0& 2^n&-2^{n+1}\\ 0& 0 &3^n/2 \end{pmatrix} \\&= \begin{pmatrix} 1 &-1+2^n & 1/2 -2^{n+1}+3^{n+1}/2\\ 0& 2^n&-2^{n+1}+2.3^n\\ 0& 0 &3^n \end{pmatrix}= A^n\end{aligned}

Posté par
Marthre : Matrices diagonales 25-02-17 à 22:15

D'accord merci


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