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matrices diagonales et suite récurentes à k pas
j'aurais besoin d'aide pour finir ce DM: (les données sont en bas du message)
A est la matrice de f dans la base (J1,J2,J3,J4)
1. a) Exprimer f(J1),f(J2),f(J3)et f(J4) comme combinaisons linéaires de J1,J2,J3 et J4.
(b) il faut trouver A (désolé mais je ne sais pas écrire les matrices)
(c) En considérant les colonnes 1 et 4 de A, montrer que 3 € SpR(f).
(d) On pose F = VectR(J2,J3) : donner la matrice de f dans une base naturelle de F, en déduire une valeur propre de f, dont vous prouverez qu'elle est au moins double.
(e) Justifier que f est diagonalisable sans faire de calcul de polynôme caractéristique.
2.(a) Montrer que (J1-J4,J2,J3,I) est une base de M2(R)
(b)Écrire la matrice D de f dans cette base.
(c)En déduire l'existence d'une matrice P inversible telle que A = PDP-1
3.(a) Déterminer la matrice P-1.
(b)En déduire explicitement la matrice An.
(c)On souhaite étudier la suite vectorielle de donnée par X0 = 1 3 (c'est une matrice) et Xn+1 =1/4*(Xn) 2 1
i. Donner l'expression de la suite Xn en fonction de n et en déduire son comportement asympto-tique si n —> +00.
ii. Expliquer ce phénomène par une étude spectrale
voilà les questions en gras sont celles ou j'ai des problèmes:
1(d) je ne vois pas la base naturelle de f
(e)problème pour les dimensions des espases propres(on ne connait pas les multiplicités associées aux valeurs propre de f)
2(a)je ne vois pas comment montrer que la famille est libre car elle est constituée de matrice
3(c)ii. je ne vois pas le rapport avec la question i
merci de m'aider
Bonsoir.
J'ai effectués les calculs demandés avant de te répondre.
Question 1 d.
On te dit que F = vect(J2,J3). Donc, (J2,J3) est par définition une famille génératrice de F. Comme c'est une partie de la base initiale, (J2,J3) est aussi une famille libre. Donc une base naturelle de F sera : (J2,J3)
Question 1 d.
On remarque que A est symétrique réelle, donc diagonalisable.
Question 2 a.
a.(J1 - J4) + b.J2 + c.J3 + d.I = O
équivaut à :
(matrice nulle d'ordre 4)
Tu verras cela donne a = b = c = d = 0. Donc famille libre.
Question 3 c. (ii)
Je pense que l'on te demande de remarquer que la transformation associée à Xn+1 = (1/4)Xn
est un endomorphisme de M2(R) dont la matrice associée est diagonale avec 1/4 sur la diagonale.
Comme Xn = (1/4)nX0 et que (1/4)n tend vers zéro lorsque n tend vers l'infini, on retrouve la conclusion.
A plus RR.
Merci pour ton aide tu ma permis de bien avancer mais pour la question: Justifier que f est diagonalisable sans faire de calcul de polynôme caractéristique je ne peut pas répondre comme tu m'as dit car je n'ai pas appris le théorème que tu m'as énoncé il faut que je passes par les questions précédentes mais je ne sais pas comment.
(la seule chose que je sais pour qu'une matrice soit diagonalisable c'est que son polynome caractéristique doit être scindée et que la dimension de son espace propre est égal à la multiplicité de la valeur propre associée)
Merci.
Pour la diagonalisation :
On sait que f(J2) = J2 et f(J3) = J3,
mais aussi que f(J1 - J4) = J1 - J4
Nous avons donc trois vecteurs propres associés à la valeur propre 1. Il faut alors montrer qu'ils sont indépendants.
Alors, la dimension du sous-espace propre associé à la valeur propre 1 est égale à trois.
Comme il y a aussi la valeur propre 3, la matrice est diagonalisable.
A plus RR.
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