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Matrices et bases
Bonjour,
voici l'énoncé d'un exercice de mon examen final d'algèbre :
On se place dans un espace vectoriel sur 
de dimension 3, muni de la base orthonormée (
,
,
).
1. Donner les coordonnées du projeté orthogonal
' sur le plan d'équation :
En déduire la matrice A de cette projection dans la base donnée.
Là je trouve :
(1,-3,2). (vecteur normal au plan)
D'après la formule du projeté orthogonale ( ' = - ((./||||²).
On obtient :
d'où la matrice de cette projection :
A = 13 3 -2
3 5 6
-1 3 5
2. Définir une base dans laquelle la matrice A de cette projection est diagonale. Ecrire cette matrice.
D'après le corrigé :
"Une base adaptée au problème est composée du vecteur (normal au plan), et de deux vecteurs (,
) formant une base du plan sur lequel on projette. Par définition de matrice d'application linéaire dans la base (,,) :
D = 0 0 0
0 1 0
0 0 1 "
Voilà, je comprends vraiment pas comment il faut faire, j'ai l'impression que la correction est un peu rapide...
Quelqu'un pourrait-il me guider un peu s'il vous plait ?
Mince, je me suis juste planté en recopiant la matrice A (on peut pas éditer nos posts ?!) :
A = 13 3 -2 . 1/14
3 5 6
-2 6 10
Bonjour
par définition de la projection p orthogonale sur P, : pour tout vecteur u qui s'écrit f + g, avec f dans P et g dans l'orthogonal de P, on a p(u) = f
autrement dit si u est dans P, p(u) = u, d'où les 1 sur la fin de la diagonale, et si u orthogonal à P, p(u) = 0, d'où le zéro du début de la diagonale.
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