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Matrices et Binôme de Newton
Bonjour, bonjour 
Voila j'ai un DM à faire en Spé' Maths et je suis bloqué à l'avant dernière question. Mais alors vraiment bloqué parce que je ne comprends pas bien comment il faut faire.
Alors voici le DM : Soit B la matrice carrée d'ordre 2 suivante :
B = (2 0)
(3 2)
1) Calculer B² et B3
-> j'ai trouvé B²=(4 0) et B3=(8 0)
(12 4) (36 8)
2)Nous allons déterminer une forme explicite de la matrice Bn pour tout entier n.
a) Démontrer que B=2I2+C où C est une matrice carrée d'ordre 2 que l'on déterminera.
-> j'ai trouvé B=2I2+C
-C=2I2-B
C=-2I2+B
j'ai calculé et j'ai trouvé C=(0 0)
(3 0)
b) Calculer C². Démontrer que, pour tout entier n
2, on a Cn=0
-> j'ai trouvé : C²=(0 0)
(0 0)
Puis après j'ai démontré par récurrence que Cn=0. Ca j'ai bien réussi, l'initialisation et l'hérédité ont été vérifié, donc Cn=0 pour tout entier n2
c) Démontrer que les matrices 2I2 et C commutent. Utiliser la formule du binôme de Newton pour établier que, pour tout entier n, on a Bn=2nI2+n2n-1*B
-> J'ai démontrer que 2I2*C=C*2I2 => donc C et 2I2 commutent.
Mais après pour la 2nde partie de la question je n'y arrive pas du tout. J'ai la formule du Binome de Newton avec le triangle de Pascal, mais ça ne m'avance a rien je trouve. En fait je ne vois pas le rapport entre la formule qu'il nous donne dans l'énoncé et le binome ^^
J'ai essayé de démontrer par récurrence, mais quand je fait l'initialisation je ne trouve jamais le bon résultat : ex: n=1 donc B1=(2 0)
(3 2)
et 21I2+1*21-1*B=(4 0)
(3 4)
et donc B1
de (4 0)
(3 4)
donc la je suis complètement bloquée ^^
d)Donner une expression explicite de Bn pour tout entier n.
-> Cette question du coup je ne l'ai pas encore faite.
Voilà donc help me please, merci d'avance!
Désolé pour les petites fautes comme je fais* ou d'autre! ^^
Je voulais simplement rajouter que suite à la question 1, j'ai émis la conjecture que Bn=(2n 0)
(? 2n)
voilà ^^
Bonjour
Tu as . Tu sais que
pour tout
et que
pour toute matrice
. De plus, tu sais que
pour tout
.
Ecris maintenant ...
(je crois que tu as une erreur dans ton énoncé)
Oui il doit certainement avoir une erreur sinon c'est pas possible.
Donc la si j'ai bien compris, ça donnerais un truc du genre :
Bn=(2I+C)n et de là on utilise le binome de newton ce qui donne: Bn=(n
k=0) (n,k)2In-k*Ck
C'est bien ça?
Ah oui d'acccord, c'est justement ce que je venais de remarquer quand dans l'énoncé dans la formule on remplace la matrice B par la matrice C ça fonctionne. D'accord, merci beaucoup!
Par contre, j'aurais une dernière question pour le d). Ils disent donner une expression explicite de Bn pour tout entier n. Ce n'est pas ce qu'on vient de faire à la question précédente? ^^
ah oui c'est vrai car en multipliant par la matrice identité on retombe sur le nombre .. donc 2n*I=2n
Merci Beaucoup ! 
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