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Matrices et diagonalisation
Bonjour à tous, j'ai deux exos sur lesquels je bloque depuis quelques jours, j'ai essayé de les reprendre aujourd'hui et je n'y arrive toujours pas.
Exercice 1. Discuter en fonction de a, b et c la possibilité de diagonaliser les matrices de M3(C)
suivantes :
1 a b 1 a 1
A = 0 1 c , B = 0 1 b
0 0 −1 0 0 c
Exercice 2. Soit A appartennant à Mn(R).
_
1. Montrer que si X est une valeur propre complexe de A, alors X est aussi valeur propre de
A, de même ordre de multiplicité.
_ _
2. Montrer que si v est un vecteur propre associé à X, alors v est un vecteur propre associé à X.
3. Diagonaliser en donnant une matrice de passage la matrice
0 −2 0
A = 1 0 −1
0 2 0
4. Calculer An pour tout entier n > 0.
Merci d'avance pour votre aide
Bruno
Bonjour, Bezunesh.
Pour l'exercice 1:
Les valeurs propres de A sont -1 et 1. A est diagonalisable si et seulement si A annule le polynôme (X-1)(X+1) donc si et seulement si (A-I)(A+I)=0.
Il ne te reste plus qu'à faire le calcul.
C'est la même idée pour la matrice B. Considérer deux cas c=1 et c différent de 1.
Ex 2
X est une valeur propre complexe de A 
P(X) = 0 où P est le polynome (reel) caractéristique de A
P (X) = 0 où les soulignés sont des "barres"
P(X) = 0 car A est dans Mn(R) donc a coefficients réels
cad X est valeur propre de P.
Sauf erreur
Pour la multiplicité, essaie de factoriser P par (x-X)a et de prendre les conjugués.
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