Bonsoir tomnovembre ;
De quelle norme sur s'agit-il ?

Effectivement elhor_abdelali, j'ai oublie de préciser qu'on utilise le produit scalaire canonique défini par : < A/B> = Tr (^tA.B) et ||  || sa norme associée.

Bonjour

( M_n(R), <  / > ) est un expace euclidien.

( S_n(R) ) est un sous espace vectoriel de dimension finie de M_n(R).

Soit A M_n(R). Par le théorème de projection orthogonale de A sur S_n(R), on sait qu'il existe un unique vecteur de S_n(R) noté B tq :

B S_n(R)

A-B = C [S_n(R)] orthogonal = A<sub>[n/sub](R)

Puisque tu dois savoir que si A M[sub]n</sub>(R)

alors il existe un unique (B,c) S_n(R)xA<sub>[n/sub](R) tq  A = B+C

Avec  B = (1/2).(A+t(A))  où t désigne transposée

et C = (1/2).(A-t(A))

D'où :

d(A,S[sub]n</sub>(R)) = d(A,B) = ||B-A|| = ||A-(1/2).(A+t(A))|| = ||(1/2).(A-t(A))||

Sauf erreurs ...

Romain

Oups ... problème de balise

Excuse moi !

Lire A_n(R) à chaque fois !!

OK ;
Tu dois savoir que l'espace des matrices symétriques et celui des matrices antisymétriques sont supplémentaires orthogonaux pour ce produit scalaire,ainsi en écrivant le projeté orthogonal de M sur (ensemble des matrices antisymétriques) n'est donc autre que (sauf erreur)

merci pour vos réponses ( en effet elhor_abdelali, une des question précédentes consistait a trouver le supplementaire othogonal de l ensemble des matrices symetriques, ca j'avais réussi, c'est pour ca que j avais precise m dans S)

pour ma part je t'en prie