Bonsoir,

J'ai un DM de spé maths et je ne comprends pas certaines questions.
Voilà le sujet :

Une souris se déplace dans une cage comportant 4 compartiments numérotés de 1 à 4 comme sur la figure ci-dessous. (voir la 1ere image en pièce jointe)
Quand la souris se trouve dans un compartiment ayant k portes (k prenant les valeurs 1, 2 ou 3), elle choisit l'une des portes avec la probabilité 1/k. Elle change de compartiment à chaque étape et ses choix sont indépendants des précédents. Au départ, la souris est dans le compartiment 1.
On note Xn la variable aléatoire égale à i (pour égal çà 1, 2, 3 ou4) lorsque la souris est dans le compartiment i à la nième étape.
On note également an=P(Xn=1) , bn=P(Xn=2) , cn=P(Xn=3) , dn=P(Xn=4)


1.a)A l'aide d'un arbre de probabilité, déterminer a3 et c3.
  b)Compléter l'arbre de probabilité suivant. (je n'arrive pas à le scanner...)
  c)En déduire les expressions de an+1 , bn+1 , cn+1 et dn+1 en fonction de an, bn, cn et dn.
  d)Construire un algorithme donnant les termes an, bn, cn et dn en fonction de n.

2.a)Représenter la situation par un graphe probabiliste.
  b)Ecrire la matrice de transition M du système.

3.On pose Ln=(an  bn  cn  dn)
  a)Exprimer Ln+1 en fonction de Ln.
  b)En déduire une expression de Ln en fonction de L0.
  c)Quelle est la probabilité que la souris soit dans le compartiment 2 après la 5ème étape?
  d)Quel est le compartiment où il est le plus probable que la souris se trouve après 6 étapes?

4.On pose Cn=
(an)
|bn|
|cn|
(dn)

(meme si ça en a pas vraiment l'air sur l'écran, c'est une matrice colonne...)

a)Exprimer Cn+1 en fonction de Cn et d'une nouvelle matrice N à préciser. Quel est le lien entre la matrice N et la matrice M précédente?
b)En déduire une expression de Cn en fonction de C0.






Mes réponses:

1.a) a3=0 et c3=P(X3=3)=1*(1/3)*(1/2)+1*(1/3)*(1/2)=1/3
  b) (c'est bon j'ai su faire)
  c)an+1 = (1/3)bn
    bn+1 = an+(1/2)(cn+dn)
    cn+1 = (1/3)bn+(1/2)dn
    dn+1 = (1/3)bn+(1/2)cn
  d) On n'a presque jamais fait d'algorithmes en cours alors je ne sais pas du tout faire. Si quelqu'un pourrait m'expliquer la base de la base sur le fonctionnement des algorithmes ce serait vraiment gentil.

2.a) (voir la 2ème image en pièce jointe)
  b) Pn+1 = Pn*M donc (Pn+1)=(an  bn  cn  dn)*M
d'où M=
(0     1     0     0  )
|1/3   0     1/3   1/3|
|0     1/2   0     1/2|
(0     1/2   1/2   0  )

3.a) Ln+1 = Ln*M
  b) Ln = L0*(M^n)
  c) L2 = L0*(M^2)
L2 = (1  0  0  0)*(M^2)
L2 = (1/3  0  1/3  1/3)
  d) L6 = L0*(M^6) = (0,18  0,26  0,28  0,28)
Il s'agit des compartments 3 et 4.
4.a) Aucune idée de comment faire...
  b)Cn=C0*(N^n)