Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Autre AlgèbreTopics traitant de algèbre [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau autre
Partager :

Matrices (HEC)

Posté par yamiaso (invité) 03-03-07 à 19:26

Bonjour, voila un petit exo sur les matrices qui me pose quelques problèmes.

Soit 4$A=\(\array{3,c.cccBCCC$&1&2&3\\\hdash~1&{0}&{1}&{0}\\2&{0}&{0}&{1}\\3&{1/4}&{-3/2}&{9/4}}\) et I, la matrice identité de R3.

Je dois calculer le produit (A-I)^2(4A-I) et en déduire que A^n s'écrit comme combinaison linéaire des matrices I, A et A^2

J'ai trouvé le produit mais je ne sais pas comment déduire la suite.

(A-I)^2(4A-I) = \(\array{3,c.cccBCCC$&1&2&3\\\hdash~1&{-1}&{-2}&{8}\\2&{0}&{0}&{0}\\3&{0}&{0}&{0}}\)

Et ensuite, je dois trouver le reste de division euclidienne de X^n par (X-I)^2(4X-I). L'énoncé indique que le reste est de la forme a_nX^2 + b_nX + c_n. Je dois déduire 3 relations entre a_n,  b_n et c_n
Donc ça me donne :

X^n = (X-I)^2(4X-I)Q(x) + a_nX^2 + b_nX + c_n

J'évalue en 1 et en 1/4. J'ai donc 2 relations, mais pas la 3ème...

Merci de votre aide

Posté par yamiaso (invité)re : Matrices (HEC) 03-03-07 à 19:27

(3 relations entre a_n, b_n et c_n)

Posté par
raymond Correcteurre : Matrices (HEC) 03-03-07 à 20:12

Bonsoir.

Pour éviter les indices écrivons pour le moment :

Xn = (X - 1)²(4X - 1)Q(X) + aX² + bX + c. (E)

Tu remarqueras qu'en divisant par un polynôme de degré 3, le reste est bien de degré < 3.

1°) on remplace X par 1 dans (E) :
1 = a + b + c
2°) on remplace x par (1/4) dans (E) :
(1/4)n = a/16 + b/4 + c
3°) On dérive (E) : nXn-1 = 2(X - 1)(4X - 1)Q(X) + 4(X - 1)²Q(X) + (X - 1)²(4X - 1)Q'(X) + 2aX + b et on remplace X par 1 :
n = 2a + b

Tu as donc le système :

2$\textrm\{{a + b + c = 1\\\frac{a}{16} + \frac{b}{4} + c = \big(\frac{1}{4}\big)^n\\2a + b \ \ \ \ = n

Ensuite, quand tu auras trouvé an, bn, cn, tu remplaceras X par A dans (E).
Comme tu as trouvé que (A - I)²(4A - I) = O, il te restera :
An = anA² + bnA + cnI.

A plus RR.

Posté par yamiaso (invité)re : Matrices (HEC) 07-03-07 à 18:28

Ma matrice était fausse en fait. Elle doit être nulle.
Normalement, ça marche après !

Merci


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1681 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !