Bonjour à tous!
Je suis bloqué à une question de mon exercice et n'arrive pas à la résoudre.
On me donne quelque soit le n Naturel:
Il faut démontrer que À est inversible et expliciter A^(-1)
J'ai donc commencé plusieurs choses:
- jai d'abord calculé le déterminant par la formule de Leibnitz et trouve 9 donc la matrice est inversible.
Je pensais par la suite remplacer dans l'expression n par -1 mais j'ai vu que c'était possible uniquement pour des n naturels.
J'ai donc essayé par la suite de trouver à partir de l'expression la matrice B telle que AB=I3 mais impossible… En effet: je me retrouve toujours avec des choses impossibles et dépendant toujours de n
La seule chose que je sais donc ici c'est que la matrice est inversible et en “trichant” (en remplaçant n par -1 dans l'expression) j'ai vu que je devais trouver quelque chose comme:
La seule chose qui me manque ici qui est essentielle c'est trouver la matrice B telle que AB=I_3, j'ai même essayé d'isoler le I_3 et de factoriser par A mais ma factorisation n'a rien donné de bon…
Si quelqu'un a le temps de m'aider,
Merci d'avance!
Bonjour!
Oupss Désolé je les avais écrit en latex mais j'ai oublié de les inclure.
Les voici:
et: Donc:
Voila, encore désolé :/
J'ai également pensé à calculer les puissances des différentes matrices et j'ai trouvé que à partir de n=3
Voilà
Maintenant que tu as A, il est inutile de t'intéresser aux pour savoir si A est inversible et calculer son inverse.
A a une forme géométrique très particulière ici! Tu dis avoir trouvé un déterminant de 9, moi je trouve
Tu peux calculer l'inverse de A directement avec la méthode du pivot de Gauss.
Ou bien, tu peux appliquer la formule du binôme pour calculer parce que A et I commutent, puis isoler I d'un côté, comme tu le mentionnais
Re,
J'ai suivi tes conseils et calculé N^3=-A-2I_3)^3
On a donc:
Car
et
quelque soit le n naturel
Or ici, on a et non
, est-ce que cela fonctionne quand même pour montrer que A est inversible?
Ensuite,
Et on trouve:
S'il est juste possible de me dire si on a AB=8I permet quand même de prouver que A est inversible
Merci!
On peut poser ici, mais je ne sais pas non plus si cela prouve que A est inversible, s'il est possible de m'éclairer!
Merci beaucoup
Re,
Je pense avoir réglé le problème!
On refactorise par A:
et on a bien avec B:
Et on retrouve bien
Cela paraît plus cohérent!
Oui, bien-sûr, si tu as tu peux en conclure que A est inversible, d'inverse
parce que
.
On utilise deux choses
1) le fait que 8 est inversible dans ou
2) le fait que pour les matrices carrées, si AB = I alors BA = I aussi
Le calcul m' a l'air correct.
Avec le pivot de Gauss, tu peux calculer l'inverse de
Les opérations L2 <- L2 - L1 puis L3 <- L3 - 1/2L2 appliquées à l'identité donnent la matrice
donc
D'accord, j'ai bien compris!
Merci beaucoup à toi pour tes explications claires et ta rapidité
Bonne journée
Par contre le calcul correct, c'était du premier dont je parlais.
Le deuxième avec les signes entre parenthèses et les
, je n'ai pas compris ce que tu essaies de faire, mais ne fais pas ça
L'idée c'est simplement que tu as trouvé un polynôme (pas forcément unitaire) P tel que AP(A) = I, donc A est inversible d'inverse P(A)
Re!
Ah oui en effet: au lieu de mettre des + j'ai mis des =... Je suis vraiment étourdi...
En réalité, je voulais obtenir uniquement d'un côté afin d'appliquer la propriété "pure" qu'on m'a enseigné, c'est-à-dire "A est inversible s'il existe une matrice B telle que
" (et non
avec p réel, mais maintenant que je sais que ça marche...)
Je corrige quand même mon calcul pour éviter de laisser des bêtises sur le forum:
On a:
En redéveloppant
en développant par 1/8
On refactorise par A:
Et là on a bien une matrice B telle que avec
et on retrouve bien la matrice A^(-1) vue précédemment!
Merci encore et désolé de mes étourderies...
salut
tu te compliques bien la vie !!
tu a du voir que pour tout réel k et toute matrice alors
donc de l'égalité on déduit immédiatement que
epictou
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