Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques LycéeOn parle exclusivement de maths, niveau lycée. TerminaleForum de terminale Calcul matricielTopics traitant de calcul matriciel [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau terminale
Partager :

Matrices inversible 3x3

Posté par
CapitainePois 21-01-23 à 11:54

Bonjour à tous!

Je suis bloqué à une question de mon exercice et n'arrive pas à la résoudre.

On me donne quelque soit le n Naturel: A^n=2^nI_3+n2^{n-1}N+n(n-1)2^{n-3}N^2

Il faut démontrer que À est inversible et expliciter A^(-1)

J'ai donc commencé plusieurs choses:

- jai d'abord calculé le déterminant par la formule de Leibnitz et trouve 9 donc la matrice est inversible.
Je pensais par la suite remplacer dans l'expression n par -1 mais j'ai vu que c'était possible uniquement pour des n naturels.

J'ai donc essayé par la suite de trouver à partir de l'expression la matrice B telle que AB=I3 mais impossible… En effet: je me retrouve toujours avec des choses impossibles et dépendant toujours de n

La seule chose que je sais donc ici c'est que la matrice est inversible et en “trichant” (en remplaçant n par -1 dans l'expression) j'ai vu que je devais trouver quelque chose comme: B=A^{-1}=1/2*I_3-1/2^2*I_3+1/2^3*I_3

La seule chose qui me manque ici qui est essentielle c'est trouver la matrice B telle que AB=I_3, j'ai même essayé d'isoler le I_3 et de factoriser par A mais ma factorisation n'a rien donné de bon…

Si quelqu'un a le temps de m'aider,

Merci d'avance!

Posté par
Ulmierere : Matrices inversible 3x3 21-01-23 à 12:06

Ce serait bien de nous donner A et N, déjà

Posté par
CapitainePoisre : Matrices inversible 3x3 21-01-23 à 12:34

Bonjour!

Oupss Désolé je les avais écrit en latex mais j'ai oublié de les inclure.

Les voici:

A=\begin{pmatrix} \\ 2 &0  &0 \\ \\ 2& 2 & 0\\ \\ 0& 1 & 2 \\ \end{pmatrix}

et:A=2I_3+N  Donc: N=A-2I_3=\begin{pmatrix} \\ 0 &0  &0 \\ \\ 2& 0 & 0\\ \\ 0& 1 & 0 \\ \end{pmatrix} \\


Voila, encore désolé :/

Posté par
CapitainePoisre : Matrices inversible 3x3 21-01-23 à 12:35

J'ai également pensé à calculer les puissances des différentes matrices et j'ai trouvé que N^n=0 à partir de n=3

Posté par
Ulmierere : Matrices inversible 3x3 21-01-23 à 12:43

Voilà

Maintenant que tu as A, il est inutile de t'intéresser aux A^n pour savoir si A est inversible et calculer son inverse.

A a une forme géométrique très particulière ici! Tu dis avoir trouvé un déterminant de 9, moi je trouve 2^3 = 8

Tu peux calculer l'inverse de A directement avec la méthode du pivot de Gauss.

Ou bien, tu peux appliquer la formule du binôme pour calculer N^3 = (A-2I)^3 parce que A et I commutent, puis isoler I d'un côté, comme tu le mentionnais

Posté par
CapitainePoisre : Matrices inversible 3x3 21-01-23 à 13:50

Re,

J'ai suivi tes conseils et calculé N^3=-A-2I_3)^3

On a donc: N^3=A^3-6A^2I_3+12A_3^2-8I_3^3

0=A^3-6A^2I_3+12A_3-8I_3 Car N^3=0 et I_3^n=I_3 quelque soit le n naturel

0=A(A^2-6AI_3+12I_3)-8I_3


8I_3=A(A^2-6AI_3+12I_3)

Or ici, on a AB=8I_3 et non AB=I_3, est-ce que cela fonctionne quand même pour montrer que A est inversible?

Ensuite,

A^{-1}=(A^2-6AI_3+12I_3)*1/8

(\begin{pmatrix} \\ 2 & 0 &0 \\ \\ 2 & 2 & 0\\ \\ 0 & 1 &2 \\ \end{pmatrix}^2-6\begin{pmatrix} \\ 2 & 0 &0 \\ \\ 2 & 2 & 0\\ \\ 0 & 1 &2 \\ \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} \\ 12& 0 &0 \\ \\ 0&  12& 0\\ \\ 0&  0&12 \\ \end{pmatrix})*1/8


Et on trouve: \begin{pmatrix} \\ 1/2 &0  & 0\\ \\ -1/2& 1/2 & 0\\ \\ 1/4 & -1/4 & 1/2 \\ \end{pmatrix}

S'il est juste possible de me dire si on a AB=8I permet quand même de prouver que A est inversible

Merci!

Posté par
CapitainePoisre : Matrices inversible 3x3 21-01-23 à 13:57

On peut poser AB*1/8=I_3     ici, mais je ne sais pas non plus si cela prouve que A est inversible, s'il est possible de m'éclairer!

Merci beaucoup

Posté par
CapitainePoisre : Matrices inversible 3x3 21-01-23 à 14:12

Re,

Je pense avoir réglé le problème!

8I_3=A(A^2-6AI_3=12I_3)

8I_3=A^3-6A^2I_3=12AI_3

I_3=(A^3-6A^2I_3=12AI_3)*1/8

I_3=\frac{1}{8}A^3-0,75A^2I_3+1,5AI_3

On refactorise par A:

A(\frac{1}{8}A^2-0,75AI_3+1,5I_3)

et on a bien AB=I_3 avec B:

A{^-1}=B=\frac{1}{8}A^2-0,75AI_3+1,5I_3

=\frac{1}{8}\begin{pmatrix} \\ 2 &0  &0 \\ \\ 2 & 2 &0 \\ \\ 0 & 1 &2 \\ \end{pmatrix}^2-0,75\begin{pmatrix} \\ 2 &0  &0 \\ \\ 2 & 2 &0 \\ \\ 0 & 1 &2 \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \\ 1&0  &0 \\ \\ 0 & 1 &0 \\ \\ 0 & 0 &1 \\ \end{pmatrix}+1\begin{pmatrix} \\ 1,5&0  &0 \\ \\ 0 & 1,5 &0 \\ \\ 0 & 0 &1,5 \end{pmatrix}

Et on retrouve bien \begin{pmatrix}%20\\%201/2%20&0%A0%A0&%200\\%20%20\\%20%20-1/2&%201/2%20&%200\\%20%20\\%201/4%20&%20-1/4%20&%201/2%20\\%20\end{pmatrix}

Cela paraît plus cohérent!

Posté par
Ulmierere : Matrices inversible 3x3 21-01-23 à 14:17

Oui, bien-sûr, si tu as AB = 8I tu peux en conclure que A est inversible, d'inverse A^{-1} = \frac18B parce que AA^{-1} = 1/8 AB = 1/8 8I = I.

On utilise deux choses
1) le fait que 8 est inversible dans \R ou \C
2) le fait que pour les matrices carrées, si AB = I alors BA = I aussi


Le calcul m' a l'air correct.
Avec le pivot de Gauss, tu peux calculer l'inverse de 1/2A = A' = \begin{pmatrix}1&0&0\\ 1 & 1 & 0\\ 0&1/2&1\end{pmatrix}

Les opérations L2 <- L2 - L1 puis L3 <- L3 - 1/2L2 appliquées à l'identité donnent la matrice (A')^{-1} = \begin{pmatrix}1&0&0\\ -1 & 1 & 0\\ 1/2&-1/2&1\end{pmatrix}  

donc A^{-1} = 1/2A'^{-1} = \begin{pmatrix}1/2&0&0\\ -1/2 & 1/2 & 0\\ 1/4&-1/4&1/2\end{pmatrix}

Posté par
Ulmierere : Matrices inversible 3x3 21-01-23 à 14:22

= 1/8 \times 8I et pas 1/88I qui voudrait dire \dfrac1{88} I

Posté par
CapitainePoisre : Matrices inversible 3x3 21-01-23 à 14:51

D'accord, j'ai bien compris!

Merci beaucoup à toi pour tes explications claires et ta rapidité

Bonne journée

Posté par
Ulmierere : Matrices inversible 3x3 21-01-23 à 19:04

Posté par
Ulmierere : Matrices inversible 3x3 21-01-23 à 19:59

Par contre le calcul correct, c'était du premier dont je parlais.
Le deuxième avec les signes = entre parenthèses et les AI_3, je n'ai pas compris ce que tu essaies de faire, mais ne fais pas ça

L'idée c'est simplement que tu as trouvé un polynôme (pas forcément unitaire) P tel que AP(A) = I, donc A est inversible d'inverse P(A)

Posté par
CapitainePoisre : Matrices inversible 3x3 22-01-23 à 11:59

Re!

Ah oui en effet: au lieu de mettre des + j'ai mis des =... Je suis vraiment étourdi...

En réalité, je voulais obtenir uniquement I_3 d'un côté afin d'appliquer la propriété "pure" qu'on m'a enseigné, c'est-à-dire "A est inversible s'il existe une matrice B telle que AB=I_k" (et non  AB=pI_k avec p réel, mais maintenant que je sais que ça marche...)

Je corrige quand même mon calcul pour éviter de laisser des bêtises sur le forum:

On a: 8I_3=A(A^2-6AI_3+12I_3)

8I_3=A^3-6A^2I_3+12AI_3 En redéveloppant

I_3=(A^3-6A^2I_3+12AI_3)*1/8

I_3=\frac{1}{8}A^3-0,75A^2I_3+1,5AI_3 en développant par 1/8

On refactorise par A:

I_3=A(\frac{1}{8}A^2-0,75AI_3+1,5I_3)

Et là on  a bien une matrice B telle que AB=I_3 avec B=\frac{1}{8}A^2-0,75AI_3+1,5I_3 et on retrouve bien la matrice A^(-1) vue précédemment!

Merci encore et désolé de mes étourderies...

Posté par
carpediemre : Matrices inversible 3x3 22-01-23 à 12:07

salut

tu te compliques bien la vie !!

tu a du voir que pour tout réel k et toute matrice A = (a_{ij}) alors kA = (ka_{ij})

donc de l'égalité 8I = A(A^2 - 6AI + 12I) on déduit immédiatement que A \left[ \dfrac1 8 \left( A^2 - 6A + 12I \right) \right] = I

epictou  

Posté par
CapitainePoisre : Matrices inversible 3x3 22-01-23 à 12:42

Ah oui c'est vrai!

Merci beaucoup à vous deux et bonne journée!


Rechercher
Menu
Espace membre
9 visiteurs
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1720 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !