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Matrices inversible 3x3

Posté par
CapitainePois 21-01-23 à 11:54

Bonjour à tous!

Je suis bloqué à une question de mon exercice et n'arrive pas à la résoudre.

On me donne quelque soit le n Naturel: A^n=2^nI_3+n2^{n-1}N+n(n-1)2^{n-3}N^2

Il faut démontrer que À est inversible et expliciter A^(-1)

J'ai donc commencé plusieurs choses:

- jai d'abord calculé le déterminant par la formule de Leibnitz et trouve 9 donc la matrice est inversible.
Je pensais par la suite remplacer dans l'expression n par -1 mais j'ai vu que c'était possible uniquement pour des n naturels.

J'ai donc essayé par la suite de trouver à partir de l'expression la matrice B telle que AB=I3 mais impossible… En effet: je me retrouve toujours avec des choses impossibles et dépendant toujours de n

La seule chose que je sais donc ici c'est que la matrice est inversible et en “trichant” (en remplaçant n par -1 dans l'expression) j'ai vu que je devais trouver quelque chose comme: B=A^{-1}=1/2*I_3-1/2^2*I_3+1/2^3*I_3

La seule chose qui me manque ici qui est essentielle c'est trouver la matrice B telle que AB=I_3, j'ai même essayé d'isoler le I_3 et de factoriser par A mais ma factorisation n'a rien donné de bon…

Si quelqu'un a le temps de m'aider,

Merci d'avance!

Posté par
Ulmierere : Matrices inversible 3x3 21-01-23 à 12:06

Ce serait bien de nous donner A et N, déjà

Posté par
CapitainePoisre : Matrices inversible 3x3 21-01-23 à 12:34

Bonjour!

Oupss Désolé je les avais écrit en latex mais j'ai oublié de les inclure.

Les voici:

A=\begin{pmatrix} \\ 2 &0  &0 \\ \\ 2& 2 & 0\\ \\ 0& 1 & 2 \\ \end{pmatrix}

et:A=2I_3+N  Donc: N=A-2I_3=\begin{pmatrix} \\ 0 &0  &0 \\ \\ 2& 0 & 0\\ \\ 0& 1 & 0 \\ \end{pmatrix} \\


Voila, encore désolé :/

Posté par
CapitainePoisre : Matrices inversible 3x3 21-01-23 à 12:35

J'ai également pensé à calculer les puissances des différentes matrices et j'ai trouvé que N^n=0 à partir de n=3

Posté par
Ulmierere : Matrices inversible 3x3 21-01-23 à 12:43

Voilà

Maintenant que tu as A, il est inutile de t'intéresser aux A^n pour savoir si A est inversible et calculer son inverse.

A a une forme géométrique très particulière ici! Tu dis avoir trouvé un déterminant de 9, moi je trouve 2^3 = 8

Tu peux calculer l'inverse de A directement avec la méthode du pivot de Gauss.

Ou bien, tu peux appliquer la formule du binôme pour calculer N^3 = (A-2I)^3 parce que A et I commutent, puis isoler I d'un côté, comme tu le mentionnais

Posté par
CapitainePoisre : Matrices inversible 3x3 21-01-23 à 13:50

Re,

J'ai suivi tes conseils et calculé N^3=-A-2I_3)^3

On a donc: N^3=A^3-6A^2I_3+12A_3^2-8I_3^3

0=A^3-6A^2I_3+12A_3-8I_3 Car N^3=0 et I_3^n=I_3 quelque soit le n naturel

0=A(A^2-6AI_3+12I_3)-8I_3


8I_3=A(A^2-6AI_3+12I_3)

Or ici, on a AB=8I_3 et non AB=I_3, est-ce que cela fonctionne quand même pour montrer que A est inversible?

Ensuite,

A^{-1}=(A^2-6AI_3+12I_3)*1/8

(\begin{pmatrix} \\ 2 & 0 &0 \\ \\ 2 & 2 & 0\\ \\ 0 & 1 &2 \\ \end{pmatrix}^2-6\begin{pmatrix} \\ 2 & 0 &0 \\ \\ 2 & 2 & 0\\ \\ 0 & 1 &2 \\ \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} \\ 12& 0 &0 \\ \\ 0&  12& 0\\ \\ 0&  0&12 \\ \end{pmatrix})*1/8


Et on trouve: \begin{pmatrix} \\ 1/2 &0  & 0\\ \\ -1/2& 1/2 & 0\\ \\ 1/4 & -1/4 & 1/2 \\ \end{pmatrix}

S'il est juste possible de me dire si on a AB=8I permet quand même de prouver que A est inversible

Merci!

Posté par
CapitainePoisre : Matrices inversible 3x3 21-01-23 à 13:57

On peut poser AB*1/8=I_3     ici, mais je ne sais pas non plus si cela prouve que A est inversible, s'il est possible de m'éclairer!

Merci beaucoup

Posté par
CapitainePoisre : Matrices inversible 3x3 21-01-23 à 14:12

Re,

Je pense avoir réglé le problème!

8I_3=A(A^2-6AI_3=12I_3)

8I_3=A^3-6A^2I_3=12AI_3

I_3=(A^3-6A^2I_3=12AI_3)*1/8

I_3=\frac{1}{8}A^3-0,75A^2I_3+1,5AI_3

On refactorise par A:

A(\frac{1}{8}A^2-0,75AI_3+1,5I_3)

et on a bien AB=I_3 avec B:

A{^-1}=B=\frac{1}{8}A^2-0,75AI_3+1,5I_3

=\frac{1}{8}\begin{pmatrix} \\ 2 &0  &0 \\ \\ 2 & 2 &0 \\ \\ 0 & 1 &2 \\ \end{pmatrix}^2-0,75\begin{pmatrix} \\ 2 &0  &0 \\ \\ 2 & 2 &0 \\ \\ 0 & 1 &2 \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \\ 1&0  &0 \\ \\ 0 & 1 &0 \\ \\ 0 & 0 &1 \\ \end{pmatrix}+1\begin{pmatrix} \\ 1,5&0  &0 \\ \\ 0 & 1,5 &0 \\ \\ 0 & 0 &1,5 \end{pmatrix}

Et on retrouve bien \begin{pmatrix}%20\\%201/2%20&0%A0%A0&%200\\%20%20\\%20%20-1/2&%201/2%20&%200\\%20%20\\%201/4%20&%20-1/4%20&%201/2%20\\%20\end{pmatrix}

Cela paraît plus cohérent!

Posté par
Ulmierere : Matrices inversible 3x3 21-01-23 à 14:17

Oui, bien-sûr, si tu as AB = 8I tu peux en conclure que A est inversible, d'inverse A^{-1} = \frac18B parce que AA^{-1} = 1/8 AB = 1/8 8I = I.

On utilise deux choses
1) le fait que 8 est inversible dans \R ou \C
2) le fait que pour les matrices carrées, si AB = I alors BA = I aussi


Le calcul m' a l'air correct.
Avec le pivot de Gauss, tu peux calculer l'inverse de 1/2A = A' = \begin{pmatrix}1&0&0\\ 1 & 1 & 0\\ 0&1/2&1\end{pmatrix}

Les opérations L2 <- L2 - L1 puis L3 <- L3 - 1/2L2 appliquées à l'identité donnent la matrice (A')^{-1} = \begin{pmatrix}1&0&0\\ -1 & 1 & 0\\ 1/2&-1/2&1\end{pmatrix}  

donc A^{-1} = 1/2A'^{-1} = \begin{pmatrix}1/2&0&0\\ -1/2 & 1/2 & 0\\ 1/4&-1/4&1/2\end{pmatrix}

Posté par
Ulmierere : Matrices inversible 3x3 21-01-23 à 14:22

= 1/8 \times 8I et pas 1/88I qui voudrait dire \dfrac1{88} I

Posté par
CapitainePoisre : Matrices inversible 3x3 21-01-23 à 14:51

D'accord, j'ai bien compris!

Merci beaucoup à toi pour tes explications claires et ta rapidité

Bonne journée

Posté par
Ulmierere : Matrices inversible 3x3 21-01-23 à 19:04

Posté par
Ulmierere : Matrices inversible 3x3 21-01-23 à 19:59

Par contre le calcul correct, c'était du premier dont je parlais.
Le deuxième avec les signes = entre parenthèses et les AI_3, je n'ai pas compris ce que tu essaies de faire, mais ne fais pas ça

L'idée c'est simplement que tu as trouvé un polynôme (pas forcément unitaire) P tel que AP(A) = I, donc A est inversible d'inverse P(A)

Posté par
CapitainePoisre : Matrices inversible 3x3 22-01-23 à 11:59

Re!

Ah oui en effet: au lieu de mettre des + j'ai mis des =... Je suis vraiment étourdi...

En réalité, je voulais obtenir uniquement I_3 d'un côté afin d'appliquer la propriété "pure" qu'on m'a enseigné, c'est-à-dire "A est inversible s'il existe une matrice B telle que AB=I_k" (et non  AB=pI_k avec p réel, mais maintenant que je sais que ça marche...)

Je corrige quand même mon calcul pour éviter de laisser des bêtises sur le forum:

On a: 8I_3=A(A^2-6AI_3+12I_3)

8I_3=A^3-6A^2I_3+12AI_3 En redéveloppant

I_3=(A^3-6A^2I_3+12AI_3)*1/8

I_3=\frac{1}{8}A^3-0,75A^2I_3+1,5AI_3 en développant par 1/8

On refactorise par A:

I_3=A(\frac{1}{8}A^2-0,75AI_3+1,5I_3)

Et là on  a bien une matrice B telle que AB=I_3 avec B=\frac{1}{8}A^2-0,75AI_3+1,5I_3 et on retrouve bien la matrice A^(-1) vue précédemment!

Merci encore et désolé de mes étourderies...

Posté par
carpediemre : Matrices inversible 3x3 22-01-23 à 12:07

salut

tu te compliques bien la vie !!

tu a du voir que pour tout réel k et toute matrice A = (a_{ij}) alors kA = (ka_{ij})

donc de l'égalité 8I = A(A^2 - 6AI + 12I) on déduit immédiatement que A \left[ \dfrac1 8 \left( A^2 - 6A + 12I \right) \right] = I

epictou  

Posté par
CapitainePoisre : Matrices inversible 3x3 22-01-23 à 12:42

Ah oui c'est vrai!

Merci beaucoup à vous deux et bonne journée!


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