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Matrices inversibles

Posté par
algebra 13-09-11 à 13:53

Bonjours à tous les membres du site !
Pouvez-vous m'éclairer sur un petit problème d'algèbre linéaire ?!

Soit A une matrice 2*2 tel que
A = ( a b )
     ( c d )

En premier lieu,je devais calculer A²-(a+d)A+(ad-bc)I.
Je trouve 0.
Puis, je devais en déduire une condition nécessaire et suffisante pour que A soit inversible.
J'imagine qu'ils veulent me faire dire ad-bc0. Mais je ne vois pas directement le lien avec le calcul précédent.
Je compte sur vous pour m'aider.
Merci et bon après-midi.

Posté par
Camélia Correcteurre : Matrices inversibles 13-09-11 à 14:06

Bonjour

Et si j'écris ton égalité sous la forme

A(A-(a+d)I)=(ad-bc)I

tu vois le rapport?

Posté par
Jalexre : Matrices inversibles 13-09-11 à 14:07

l'égalité A²-(a+d)A+(ad-bc)I=O se réécrit A((a+d)I-A) = (ad-bc)I

- Si ad-bc est non nul, l'inverse de A existe et est donnée par \frac{1}{ad-bc}((a+d)I-A)

- Si ad-bc est nul, alors on a A((a+d)I-A) = O. La matrice A ne peut pas être inversible car sinon,
on aurait (en multipliant l'égalité par l'inverse de A) : (a+d)I-A = O, donc A = (a+d)I, ce qui implique A=0. Contradiction !


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