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Matrices inversibles

Posté par
sosoh
07-11-22 à 16:02

Bonjour,
J'ai un exercice à faire mais je ne parviens pas à savoir comment le débuter. Dois-je prendre des nombres quelconques ?

Voici mon sujet:
Soit A une matrice carrée telle que A^2 est non inversible. Peut-on affirmer que A est non inversible?

Merci d'avance pour votre aide

Posté par
lake
re : Matrices inversibles 07-11-22 à 16:13

Bonjour,

Tu peux commencer ainsi :

Si A est inversible, il existe B tel que A.B=B.A=I

et donc A^2.B^2=B^2.A^2=I

Puis conclure.

Posté par
sosoh
re : Matrices inversibles 07-11-22 à 16:15

En prenant des nombres quelconques ?

Posté par
lake
re : Matrices inversibles 07-11-22 à 16:21

Il n'est pas question de "nombres".
Ce que j'ai écrit concerne les matrices carrées quelconques.

Tu dois montrer que si A^2 n''est pas inversible, alors A n'est pas inversible.

J'ai montré ce qu'on appelle la "contraposée" :

Si A est inversible, alors A^2 est inversible.

Les deux propositions sont équivalentes : montrer la contraposée d'une proposition, c'est aussi montrer la proposition de départ.

Posté par
sosoh
re : Matrices inversibles 07-11-22 à 16:28

Donc je dis que si A est inversible alors A^2 l'est aussi et donc si A^2 n'est pas inversible alors A ne l'est pas non plus

Posté par
lake
re : Matrices inversibles 07-11-22 à 16:36

Exactement.

Un exemple pour te faire saisir ce qu'est une contraposée :

  proposition 1 : "S'il fait beau demain alors j'irai courir."
  proposition 2 :  (le lendemain), "Je n'ai pas couru donc  le temps était pourri"

Les deux propositions sont équivalentes.
Déclarer que l'une est vraie revient à dire que l'autre (sa contraposée) l'est aussi.

Posté par
sosoh
re : Matrices inversibles 07-11-22 à 16:44

D'accord
Merci à vous

Posté par
lake
re : Matrices inversibles 07-11-22 à 16:52

Plus formellement, on peut écrire :[

  (A\Longrightarrow B) \Longleftrightarrow (\neg B\Longrightarrow \neg A)

Ici \neg est le symbole qui signifie 'non"

De rien sosoh



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