Bonjour à tous,

J'ai pour lundi un exercice à rendre sur les matrices, et je bloque à la dernière question, qui comprend une occurrence :
Voici l'énoncé : ( les matrices sont 2x2

A est la matrice = 20    B est la matrice = 01    C est la matrice = 50  
                           02                             -10                               05

Et O₂ est la matrice = 00
                                 00

M est quand à elle la matrice ( 4x4 ) : M= 2 0 0 1
                                                             0 2 (-1) 0
                                                             0 0 5 0
                                                             0 0 0 5

Calculer AB et BC, montrer que M² =  A² 7B
                                                       O₂ C²

Cette question la est faite ; AB = 0 2                BC = 0 5
                                                 -2 0                    -5 0
Et j'ai calculé M² puis les matrices² , j'ai le bon résultat

Voici la question qui me pose problème :

Montrer que quelque soit n *,

M^n=    A^n  a_nB
           O₂    C^n
Avec a_n= 1/3(5^n-2^n)

Je pense que je dois utiliser une récurrence, mais je bloque totalement à l'hérédité, voici ce que j'ai jusqu'a présent
Je veux définir le a_n pour essayer de le multiplier à la matrice B
J'ai donc :
1/3(5^n-2^n) = (5^n-2^n)/3
Mais à partir de la je bloque, et je me demande donc si il n'y à pas de formule pour ces puissances , j'ai bien l'identité remarquable : (a²+b²)=(a-b)(a+b) mais la j'ai une inconnue et pas un carré

Merci d'avance