Bonjour,
c'est une question intéressante.
Note premièrement que ta 3e assertion implique nécessairement les 2 premières.

Mes cours d'algèbre linéaires remontent à 2003, mais je crois me souvenir que pour des dimensions de matrice (ordres) inférieures ou égales à 4

poly caractéristiques et minimaux identiques => matrices semblables.

Il me semble que c'est faux dès que la dimension est supérieure à 5.

En ce qui concerne l'ajout de la condition du rang, je ne sais pas si cela ajoute vraiment quelque chose. Je me demande si le rang n'est pas une information déjà contenue quelque part dans le polynôme minimal.

J'espère que ça peut t'aider.

Merci de ta réponse Otto. Comme dans mon exos il s'adit d'une matrice 2*2 je tente ce raisonnement.

Pour une matrice 2x2 tu dois pouvoir y aller directement et beaucoup plus facilement je pense.

Quelles sont tes matrices? Sais tu juste qu'elles ont toutes ces mêmes caractéristiques?

Salut!
Malheureusement c'est insuffisant, une réponse satisfaisante est fournie par les invariants de smilitudes. Ne manière tres jolie de l'introduire consiste a voir un espace vectoriel muni d'un endomorphisme comme un k[T]-module (pour lesquelles on possède un tres joli theoreme de structure), malheureusement cette façon de voir n'est pas au niveau de prepa. Je ne connais pas trop de manière naturelle de decrire ses invariants sans cette demarche. Mais sache que c'est une suite de polynome (qui permettent entre autre de deduire polynome minimal et carracteristique)

Par contre je ne pense pas que le rang puisse se "lire" sur le polynome carracteristique, les matrices nilpotentes ont toutes le meme polynome carracteristique, elle peuvent avoir des rang divers. Par contre leur polynome minimal precisera ce rang.

Je prends note de ce point... Aie donc pas d'idée pour mon exo. Je poursuis les recherches et si pas d'idée avant ce soir je viendrai chercher de l'aide sur le forum!

Encore merci à vous deux

Ca depend de ton exo, si ton but est de demontrer que deux matrices ayant meme rang et meme polynome carracteristique sont semblables, pour des matrices 2x2 alors c'est faux.
Par exemple et l'identité ont meme polynome carracteristique, meme rang, mais ne sont pas semblables.
Apres si tu as 2 matrices 2x2 bien precises et si tu veux savoir si elles sont semblables, alors ca ne devrait pas etre tres difficile, tu peux les diagonaliser toutes les deux par exemple (si c'est possible).

Les invariant de similitude peuvent se traiter en prépa sans utliser les modules. voir par exemple le Leichtnam-Schauer d'algèbre : exercices corrigé X et ENS.

deux matrices poosédant:
  
  -les mêmes polynômes caractéristiques
sont nécéssairement semblables

sabaga, ne dis pas n'importe quoi sur tous les topics que tu croises.

Regarde par exemple et et dis-m'en des nouvelles.

BCPSI, quel est plus précisément ton exercice?

On s'interesse aux deux matrices suivantes:
  -la matrice A qui est une matrice 2*2 dont la trace est nulle et dont le spectre est égal à {0}
  -la matrice
Il faut montrer que ces matrices sont semblables.

Le fait que le spectre soit {0} donne que la trace est nulle, et que A est semblable à . A toi de justifier qu'on peut écrire

Le fait que Sp={0} implique que le rang de la matrice est 1. Donc n'importe quelle valeur hormis 0 convient pour

Oui pardon! C'était précisé dans les hypothèses. Mais on peut donc prendre n'importe quelle valeur pour ???
C'est à raprocher des matrices nilpotentes, non?  :matrices ayant le même spectre et cette forme qui permet de faire " remonter les coefficients".

Oui, une matrice de taille n * n est nilpotente si et seulement si 0 est sa seule valeur propre.

Ici, pour montrer qu'on peut choisir lambda=1, je te conseille de revenir à la définition de la matrice, avec f(e2)=lambda.e1 et de montrer qu'on peut construire une autre base dans laquelle f(e2')=e1'

Ok merci

Juste une precision

J'ai implicitement plongé ma matrice dans Mn(C)...

deux matrices carrées et sont dites semblables s'il existe une matrice inversible telle que :
^{− 1}.

et:
donc les deux Matriceset   sont possèdes  mêmes traces

monsieur  gui_tou  merci à votre avis .
mais il faut que je dis comme me savoir et les autres corriger les défaut
voici l'apprentissage  comme je vois.

Oui sabaga, deux matrices semblables ont le même polynôme caractéristique, donc la même trace, le même déterminant. Mais si deux matrices ont le même polynôme caractéristique, elles ne sont pas forcément diagonalisables!!

je vous accepte merci.
je compris maintenant  

sont semblables entre elle  mais non semblables à .

Remarque:
En fait deux matrices sont semblables si elles représentent la même application linéaire dans des bases différentes

C'est la définition même de "semblable", c'est un peu plus fort qu'une "remarque".

donc c'est un conclusion