Salut,

Il faut que tu montres qu'il existe une matrice de passage entre les deux...

Donc si A et B sont tes matrices, il faut que tu montres qu'il existe une matrice P inversible telle que .

à+

Bonjour hanane

ça dépend parce que je ne vois pas de méthode générale pour résoudre ce genre de problème.
Mais bon, tu sais : si les matrices sont assez sympathiques, on peut y arriver.
Par exemple, si les deux matrices sont diagonalisables et qu'ils ont exactement les mêmes valeurs propres avec la même valeur multiplicité pour chacune d'elles, alors les deux matrices sont automatiquement semblables.
Pourrais-tu, s'il te plaît, écrire les matrices sur lesquelles tu travailles ?

Kaiser

désolé, je voulais dire : "avec la même multiplicité" !

d'accord kaiser , voilà  M = 0 -2  0
                             1  0 -1
                             0  2  0


et A = 0  0  0
        0  0 -4
        0  1  0          

en fait la question c de montrer qu'il existe une base de R3  dans laquelle la matrice de est A, u étant l'endomorphisme canoniquement associé à M.
merci d'avance .    
                                      

c mal organisé ,mais bon :s, je crois que c compréhensible

Quelles étaient les questions précédentes ?(elles étaient peut-être là pour nous donner des indications ).

Oublie ce que j'ai dit ! ce n'est pas la peine ! J'ai trouvé.
En fait, les deux matrices sont diagonalisables sur (elles ont toutes les deux 3 valeurs propres distinctes avec une valeur propre réelle).

Il suffit alors de démontrer que deux matrices réelles qui sont semblables sur le sont aussi sur et ce sera fini.

Tout d'abord, on voit clairement que 0 est une valeur propre de A car elle n'est pas inversible.
Notons a et b les deux autres valeurs propres de A (éventuellement répétées a priori).

Tr(A)=0, donc a+b=0
En calculant les coefficents diagonaux de A², on voit que Tr(A²)=-8, d'où a²+b²=-8.
On a donc a différent de b et différent de 0.

On en déduit que A admet 3 valeurs propres complexes distinctes, donc A est digonalisable mais sur .

Par la même méthode, on voit que M admet exactement les même valeurs propres que A. On en déduit que M et A sont semblables au sens complexe à la matrice diagonale diag(0,a,b), d'où l'existence d'une matrcie comlpexe inversible P telle que , c'est-à-dire .

Notons respectivement Q et R les parties réelle et imaginaire de P, de sorte que (Q et R sont alors des matrices réelles).
L'égalite précédent implique que et que .
On a donc pour tout complexe x,

On va montrer qu'il existe un réel x tel que Q+xR est inversible auquel cas on aura gagné.
Supposons par l'absurde que pour tout réel x, cette matrice n'est pas inversible.
Considérons l'application x det(Q+xR)

par hypothèse, cette application est identiquement nulle sur
Mais on peut voir assez facilement que cette application est une fonction polynômiale.
Or une fonction polynômiale qui est nulle sur est automatiquement nulle sur (car cela implique la nullité des coefficents).
En particulier elle est nulle pour x=i, ce qui est absurde car R+iQ=P qui est inversible.
Donc il existe un réel x tel que R+xQ est inversible et on a démontré que A et M sont semblables (sur ).

Kaiser

théorème (faisable)  si  l'espace est de dimension =< 3  deux matrices sur  K  sont semblables ssi eles ont même^s polynôme caractéristique et minimal.

(oui c'est pas l'esprit mais c'est bien de le savoir pour vérifier)

lolo