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matrices spé
bonjour à tous pouvez vous m'aider ?
on considère la matrice
M = ( 1 1 )
(-1 1 )
et on pose M^0 = I2
I2= ( 1 0 )
( 0 1 )
a) calculer M² M^3 et M^4
aucun problème pour cette question
b) En déduire que pour tout entier naturel n non nul, M^4n = (-4)^n * I2
C) soit la division euclidienne n = 4k+r avec 0 
r 4
Donner suivant les valeurs de r, l'expression de M^n en fonction de k et M ou M² ou M^3
je bloque à la b/ et la c/
bonjour
a)
pose
J=(0 1)
(-1 0)
on a A=J+I2
J²=(0 1)(0 1)
(-1 0)(-1 0)
=
(-1 0)
(0 -1)
=-I2
et
A²=(J+I2)²=J²+2J+I2=-I2+2J+I2=2J
A^3=(2J)(J+I2)=2J²+2J=-2I2+2J=-2I2+2(A-I2)=2A-4I2
A^4=(2J)(2J)=4J²=-4I2
b) soit n>=1 alors
A^(4n)=(A^4)^n=(-4I2)^n=(-4)^nI2
c)n=4k+r et 0<=r<=3
on a
A^n=A^(4k+r)
=(A^4k)(A^r)
=((-4)^kI2)(A^r)
=(-4)^kA^r
si r=0 alors A^4k=(-4)^kI2 c'est le résultat trouvé en a)
si r=1 alors A^4n=(-4)^kI2)(A)=(-4)^kA
si r=2 alors A^4n=(-4)^kI2)(A²)=(-4)^k(2J)=2(-4)^k(A-I2)=2(-4)^kA-2(-4)^kI2
si r=3 alors A^n=(-4)^kI2)(A^3)=((-4)^kI2)(2A-4I2)=(2(-4)^kA+(-4)^(k+1)I2
-----
voila
c) soit n = 4k+r
si r=0, d'après le b):
M4k = 4kI2
donc pour r=1
M4k+1 = M4k*M = 4kI2M = 4kM
donc pour r=2
M4k+1 = 4kM2
...
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